Strong convergence of Kleinian groups

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Proposition 4. Let $\rho_i:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ be a sequence of discrete faithful representations which converges algebraically to a tame representation $\rho:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ and $\rho_i(\Gamma)\to\Gamma_G$ geometrically. If no maximal parabolic subgroup of $\rho(\Gamma)$ of rank 1 is contained in a parabolic subgroup of $\Gamma_G$ of rank 2, then there is a core $K$ of $M$ such that

(1) $\pi|_K$ is injective;

(2) $K$ contains a neighborhood of every geometrically infinite end of $M$;

(3) $K$ is contained in the interior of the convex core of $M$ if $\rho$ is not Fuchsian; and

(4) if $Q$ is a cusp of $M$, then $Q\cap K\neq\emptyset$ and $\partial K\cap Q$ has 0, 1 or 2 components, each of which is totally geodesic in $M$.

Statement에서 가장 중요한 포인트는 (1)인 injectivity 파트로, algebraic limit의 core $K$가 geometric limit $M_G$로 embedding이 된다는 것이다! 나머지 (2) - (4)는 (1)에 비해서는 extra로 당연히 요구할 수 있는 성질이다.

Rmk. 1. maximal parabolic subgroup of $\rho(\Gamma)$ of rank 1이 $\Gamma_G$의 rank 2 subgroup에 포함되지 않는 것을 체크하기 위해서는, 이 $\Gamma_G$의 rank 2 subgroup들 중에 (up to conjugacy로) geometrically infinite end의 fundamental group의 subgroup으로 들어가지 않는다는 것만 체크하면 충분하다. 이유는 Canary의 covering lemma의 consequence에 의한 것으로, $\pi$을 geometrically infinite end에 restrict 시켰을 때 injective하다는 사실 때문. (이거 자체로도 상당히 흥미로운 사실이어서 따로 증명을 다른 포스트에서 할 예정이다. Geometrically infinite end의 covering에 대해서 이야기하는 covering lemma이지만, injectivity를 바로 이야기 해주진 않는다.)

2. 만약 $\rho(\Gamma)$의 domain of discontinuity가 공집합이라면, 또한 Covering lemma의 consequence중 하나가, 이 경우에는 convergence가 strong하다는 것이 알려져 있다. 이 경우에는 $K$를 $M$으로 잡으면 된다. Strong convergence를 찾는 것이 이 논문의 핵심으로 상당수의 경우에 domain of discontinuity가 nonempty일 때를 가정하고 증명한다.

3. 만약 $\rho$가 Fuchsian이라고 하면, convex core는 2차원으로 degenerate되기 때문에, $K$는 convex core의 $\epsilon$-neighborhood라고 생각하면 된다.

Proposition 4의 상황에서, core $K$를 cusp과 geometrically infinite end를 바라보는 surface들을 따라서 적절히 쳐내면, $M_G$에 embedding하는 relative compact core를 얻는다.

Corollary 2. Under the assumptions of Proposition 4, the following holds. For every $\epsilon>0$ less than the Margulis constant, there is a relative compact core $(K(\epsilon),P(\epsilon))$ of $M^{\geq\epsilon}$ such that

(1) $\pi|_{K(\epsilon)}$ is injective;

(2) $\pi$ is injective on each component of $M^{\geq\epsilon}-K(\epsilon)$ which represents a geometrically infinite end;

(3) $K(\epsilon)$ is contained in the interior of the convex core of $M$ if $\rho$ is not Fuchsian; and

(4) if $\epsilon'<\epsilon$, then $K(\epsilon)\subset K(\epsilon')$ and the boundary of every component of $K(\epsilon') - K(\epsilon)$ is the union of a component of $P(\epsilon)$, a component of $P(\epsilon')$ and two totally geodesic annuli.

Rmk. (2)에서 injective로 바뀐 것은, 앞서 말했듯이 covering theorem의 consequence에 의한 것.