수특에서 배울거리를 정리해보자 24일차

오늘 문제인 수특 수1 79p Level1 5번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요

a₁을 구할 때는 Sn에 n=1을 대입하여 a₁=3임을 알 수 있죠.

① 풀이1

a11만 구하려면 S11에서 S10을 뺴면 됩니다. 

S11, S10을 다 계산한 후에 뺄셈을 하는 것 보다 같은 차수끼리 계산하는게 편합니다. 

a11=S11-S10=2(11²-10²)-3(11-10)=39가 됩니다. 

따라서 a11/a1=39/3=3입니다.

② 풀이2

이 문제에서는 a1, a11만 알면 되지만 an을 구해봅시다. 

대신 n=1인 경우와 아닌 경우를 나누어서 생각해주어야합니다.

an=Sn-Sn-1에서 (n-1)이 자연수여야하므로 n≥2인 경우에

an=Sn-Sn-1=2(n²-(n-1)²)-3(n-(n-1))=4n-5가 됩니다. 단 n≥2이죠. 

n=1인 경우에는 따로 대입하여 a1=3입니다. 

③ 풀이3

등차수열일 때는 특별한 경우이므로 따로 알아두면 좋습니다.

등차수열 an=a₁+(n-1)d의 부분합은

Sn=(d/2)n²+(a₁-d/2)n으로 

"최고차항의 계수는 공차의 절반", "상수항은 0"인 "이차식"이 됩니다. 

만약 Sn=2n²+4n이면 보자마자 공차가 2의 두배인 4이고 첫항은 a1=S1=6이므로 an=4n+2임을 알 수 있는 것이죠.

그런데 지금 문제에서는 Sn의 상수항이 0이 아닙니다.

이 경우에는 n=1인 경우를 제외하고 n≥2에서 등차수열이 됩니다.

Sn=an²+bn+c라하면

an=Sn-Sn-1=a(n²-(n-1)²)+b(n-(n-1))=2an+a+b로 등차수열이 되는데 이 식은 n≥2에서만 성립합니다.

Sn이 이차식이면 an은 Sn의 이차항 계수의 두배가 공차인 등차수열이 되고, 상수항이 0이면 첫항부터, 아니라면 두번째항부터 등차수열이 됨을 미리 알고 있으면 편한 경우가 있습니다. 

아래는 관련된 기출 문제입니다. 

봐주셔서 감사하고요

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[수1에서 배울거리를 정리해보자]

1일차 https://orbi.kr/00043586953

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