〈 2022 수능 (공통점수)와 (선택조정점수) 평균&표준편차 일치 증명 〉

선택 과목	[eqn: p+q=100]		선택 과목별 인원	전체 응시 인원	평균			표준편차
	공통 점수 ([eqn: p]점 배점)	선택 점수 ([eqn: q]점 배점)			전체 공통 점수 평균	선택별 공통 점수 평균	선택별 선택 점수 평균	전체 공통 점수 표준편차	선택별 공통 점수 표준편차	선택별 선택 점수 표준편차
A	[eqn: x_A_1]	[eqn: y _{A _{1}}]	[eqn: i]	[eqn: n]	[eqn: m]	[eqn: m_x_A]	[eqn: m _{y _{A}}]	[eqn: sigma]	[eqn: sigma _{x _{A}}]	[eqn: sigma _{y _{A}}]
	⋮	⋮
	[eqn: x _{A _{i}}]	[eqn: y _{A _{i}}]
B	[eqn: x _{B _{1}}]	[eqn: y _{B _{1}}]	[eqn: j]			[eqn: m _{x _{B}}]	[eqn: m _{y _{B}}]		[eqn: sigma _{x _{B}}]	[eqn: sigma _{y _{B}}]
	⋮	⋮
	[eqn: x _{B _{j}}]	[eqn: y _{B _{j}}]
⋮	⋮	⋮	⋮			⋮	⋮		⋮	⋮
C	[eqn: x _{C _{1}}]	[eqn: y _{C _{1}}]	[eqn: k]			[eqn: m _{x _{C}}]	[eqn: m _{y _{C}}]		[eqn: sigma _{x _{C}}]	[eqn: sigma _{y _{C}}]
	⋮	⋮
	[eqn: x _{C _{k}}]	[eqn: y _{C _{k}}]

[eqn: cdot]전체 응시 인원  [eqn: n=i+j+ `CDOTS` +k]

[eqn: cdot]전체 공통점수 평균  [eqn: m= {sum _{l=1} ^{i} `x _{A _{`l}} + sum _{l=1} ^{j} `x _{B _{`l}} +` CDOTS `+ sum _{l=1} ^{k} `x _{C _{`l}}} over {n}]

[eqn: cdot]전체 공통점수 표준편차  [eqn: sigma = sqrt {{sum _{l=1} ^{i} ``(x _{A _{`l}} -m) ^{2} + sum _{l=1} ^{j} ``(x _{B _{`l}} -m) ^{2} +` CDOTS `+ sum _{l=1} ^{k} ``(x _{C _{`l}} -m) ^{2}} over {n}}]

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* 각 학생별 선택과목-조정점수 산출 [eqn: left ( `U`=m _{x} + sigma _{x} TIMES {y-m _{y}} over {sigma _{y}} ` right)]

[eqn: cdots], [eqn: U _{A _{i}} =m _{x _{A}} + sigma _{x _{A}} TIMES {y _{A _{i}} -m _{y _{A}}} over {sigma _y_A }] , [eqn: cdots], [eqn: U _{B _{j}} =m _{x _{B}} + sigma _{x _{B}} TIMES {y _{B _{j}} -m _{y _{B}}} over {sigma _{y _{B}}}] , [eqn: cdots], [eqn: U _{C _{k}} =m _{x _{C}} + sigma _{x _{C}} TIMES {y _{C _{k}} -m _{y _{C}}} over {sigma _{y _{C}}}]

여기서, [eqn: U] 점수(선택과목 조정점수)의 전체 평균과 표준편차를 구해보자.

[eqn: rm E( it U`)= {LEFT ( U _{A _{1}} +` CDOTS `+U _{A _{i}} ` RIGHT ) + LEFT ( U _{B _{1}} +` CDOTS `+U _{B _{j}} ` RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( U _{C _{1}} +` CDOTS `+U _{C _{k}} ` RIGHT )} over {n}]

[eqn: = {i TIMES m _{x _{A}} +j TIMES m _{x _{B}} +` CDOTS `+k TIMES m _{x _{C}}} over {n}][eqn: `=` {sum _{l=1} ^{i} `x _{A _{`l}} + sum _{l=1} ^{j} `x _{B _{`l}} +` CDOTS `+ sum _{l=1} ^{k} `x _{C _{`l}}} over {n} `=`m]

또한,

[eqn: sqrt {{sum _{l=1} ^{i} `` LEFT ( U _{A _{`l}} -m _{x _{A} `} RIGHT ) ^{2}} over {i}} = sigma _{x _{A}} = sqrt {{sum _{l=1} ^{i} `` LEFT ( x _{A _{`l}} -m _{x _{A}} ` RIGHT ) ^{2}} over {i}}] 에서  [eqn: sum _{l=1} ^{i} U _{A _{`l}}`^{2}][eqn: `= sum _{l=1} ^{i} ``x _{A _{`l}} ` ^{2}]

[eqn: sqrt {{sum _{l=1} ^{j} `` LEFT ( U _{B _{`l}} -m _{x _{B}} ` RIGHT ) ^{2}} over {j}} = sigma _{x _{B}} = sqrt {{sum _{l=1} ^{j} `` LEFT ( x _{B _{`l}} -m _{x _{B}} ` RIGHT ) ^{2}} over {j}}] 에서  [eqn: sum _{l=1} ^{j} U _{B _{`l}} ` ^{2}][eqn: `= sum _{l=1} ^{j} ``x _{B _{`l}} ` ^{2}]  ,  ……

[eqn: sqrt {{sum _{l=1} ^{k} `` LEFT ( U _{C _{`l}} -m _{x _{C}} ` RIGHT ) ^{2}} over {k}} = sigma _{x _{C}} = sqrt {{sum _{l=1} ^{k} `` LEFT ( x _{C _{`l}} -m _{x _{C}} ` RIGHT ) ^{2}} over {k}}] 에서  [eqn: sum _{l=1} ^{k} U _{C _{`l}} ` ^{2}][eqn: `= sum _{l=1} ^{k} ``x _{C _{`l}} ` ^{2}]

그러므로,  [eqn: sigma ( it U`)= sqrt {` {sum _{l=1} ^{i} ``(U _{A _{`l}} -m) ^{2} + sum _{l=1} ^{j} ``(U _{B _{`l}} -m) ^{2} +` CDOTS `+ sum _{l=1} ^{k} ``(U _{C _{`l}} -m) ^{2}} over {n}}]

[eqn: = sqrt {{sum _{l=1} ^{i} ``(x _{A _{`l}} -m) ^{2} + sum _{l=1} ^{j} ``(x _{B _{`l}} -m) ^{2} +` CDOTS `+ sum _{l=1} ^{k} ``(x _{C _{`l}} -m) ^{2}} over {n}} `= sigma]

즉, [eqn: rm E LEFT ( it U`` RIGHT ) `=m] , [eqn: sigma (U``)= sigma] 이다.

위의 뜻은

(전체 학생)의 (공통점수 평균 [eqn: m])[eqn: =](전체 학생)의 (선택조정점수 평균 [eqn: rm E( it U`)])

(전체 학생)의 (공통점수 표준편차 [eqn: sigma])[eqn: =](전체 학생)의 (선택조정점수 표준편차 [eqn: sigma( it U`)])

입니다.