# 2 - 증명&공식 공부하는 법 - 두번째
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개념 학습하는 법 2단계 - 증명, 공식
1. 시작하기 전에
정말 많은 학생들이 해결하지 못하는 난제가 있어요.
"공식"은 어떻게 공부해야 하는 가?
"증명"은 어떻게 공부해야 하는 가?
공식은 원리를 하나하나 이해해야 한다고 해요. 그런데 왜 원리를 이해해야 할까요?
증명은 빈 종이에 자기가 직접 할 수 있으면 된대요. 그런데 왜 그래야 할까요?
이 과정들 자체가 문제 푸는 데에 도움이 되긴 할까요?
2. 본론
증명 공부하는 법을 먼저 살펴보고, 그다음 공식을 공부하는 법을 설명하도록 할게요!
가. 증명 공부하는 법
미분 - 도함수의 활용 - 접선의방정식 파트입니다.
증명은 아래 세 가지를 할 수 있으면 돼요.
1. 증명에 쓰인 개념 혹은 변형을 알고 있는 가
2. 빈 종이에 본인이 직접 증명 할 수 있는 가
3. 증명안의 숫자 혹은 문자, 식이 바뀌어도 할 수 있는 가
1번부터 하나하나 살펴보겠습니다.
1. 증명에 쓰인 개념 혹은 변형을 알고 있는 가?
ⒶⒶ에서는 미분계수의 개념이 쓰였어요.
(미분계수 : 접선의 기울기)
Ⓑ에서는 직선의 방정식 개념이 쓰였어요.
(한 점을 지나고, 기울기가 주어졌을 때 직선의 방정식)
2. 빈 종이에 본인이 직접 증명 할 수 있는 가
이렇게 빈 공책에 본인이 직접 증명해보세요.
제가 빨간색 펜으로 쓴 것처럼, 옆에 개념이나 변형을 써주면 더 좋겠죠?
3. 증명안의 숫자 혹은 문자, 식이 바뀌어도 할 수 있는 가
이 부분이 되게 중요해요!
여러분도 펜들고 직접 해보세요! 이 과정을 해야
증명능력도 길러지고, 문제 푸는 사고력도 길러져요.
예를 들어, 함수를 y=f(x) 대신에, y=2f(x)+x로 바꾸고,
x=a에서 접선의 방정식이 아닌, x=2에서 접선의 방정식으로 바꾸는 거에요.
이 부분도 마찬가지로 옆에 개념이나 변형을 써주면 좋겠죠?
모든 증명을 위와 같은 방식으로 해주시면 됩니다.
나. 공식 공부하는 법
이제 본격적으로 공식을 공부하는 법을 알아보도록 할게요.
공식 공부하는 법은 크게 특별하지 않아요.
저번 칼럼 #1에서 소개한 교과서 공부법과 위에서 소개한 증명 공부법을 합치면 돼요.
글 맨 아래에 칼럼 #1을 링크해놓을 테니, 궁금하신 분은 읽어보세요!
도함수의 활용-함수의 증가 감소 파트를 살펴볼게요.
검은색 부분은 도입부이고,
초록색 부분은 증명,
파란색 부분은 개념부에요!
(도입부와 개념부가 무엇인지는 칼럼 #1에서 소개했어요!)
하나하나 간단히 살펴보도록 할까요?
1] 도입부 학습하기
생각열기를 통해, 접선의 기울기가 양수면 함수가 증가하고,
접선의 기울기가 감소면 함수가 감소함을 직관적으로 이해할 수 있어요.
2] 증명 학습하기
증명은 위에서 말한대로,
1) 증명에 쓰인 개념과 변형이 무엇인지 찾아보고
2) 빈 종이에 직접 증명을 해봐야 하며,
3) 문자나 식을 바꿔서 다시 증명을 해보면 돼요.
참고로,
ⒶⒶ에서는 평균값의 정리의 개념이 쓰였어요.
Ⓑ에서는 변형을 통해, 평균변화율이 양수면 함수가 증가함을 이끌어 냈어요.
3] 개념부 학습하기
칼럼 #1에서 말한 것처럼, 도입부와 개념부를 연결지어야 해요.
그러면 f'(x)>0인 구간에서 함수가 증가함을 직관적으로 이해할 수 있어요.
이번에는 바꿔읽어보기 작업을 할 거에요.
밑줄 친 f(x)를 다른 함수로, 밑줄 친 구간(a,b)를 다른 구간으로 바꿔서 읽어주세요.
예를 들면 아래와 같아요.
저는 f(x)를 3f(x)+x2로,
구간 (a,b)를 구간 (2,3)으로 바꿔봤어요.
그러므로 공식공부는 이런 식으로 하면 돼요.
" 칼럼 #1 공부법 + 증명공부법 = 공식공부법 "
참고 : 가끔 증명이 없는 경우도 있어요. 이럴 땐 굳이 증명을 안해도
추론이 쉽거나, 대학교 과정이라 너무 까다롭거나! 둘 중 하나입니다.
다. 이렇게 공부해야 하는 이유
1] 증명을 이렇게 공부해야 하는 이유
1. 증명이 수능에 직접적으로 출제되지는 않아요. 증명을 하는 과정이 수능 문제에
간접적으로 출제되는 경우가 많아요.
-> 그러므로 증명을 통으로 외우기 보다는, 포인트를 두어 외워야 해요.
제가 '개념과 변형'(=포인트)을 찾으라 한 이유가 이거에요.
2. 증명을 할 줄 알아야, 문제 풀이의 논리적 과정을 알 수 있게 돼요.
-> 문제풀이 논리 없이 직관으로 떼우는 친구들 있죠?
수능에는 허용되는 직관이 있고, 그렇지 않는 직관이 있어요.
이 경계선을 익히기 위해 증명 공부는 필수입니다.
3. 증명과정에 포인트를 찾을 수 있어야, 문제풀이에서도 포인트를 찾을 수 있고,
그래야만 문제풀이의 큰 그림을 그릴 수 있어요.
-> 포인트를 찾는 능력이 나중에 기출문제 분석의 기본 바탕이 돼요.
문제 풀이를 포인트 별로 딱딱 끊을 수 없으면 기출 분석은 절.대. 할 수 없어요.
2] 공식을 이렇게 공부해야 하는 이유
제가 제시한 과정들을 하게 되면,
대부분의 공식을 "직관적"으로 이해할 수 있게 돼요.
공식을 직관적으로 이해하지 않으면, 고득점은 절대로 불가능해요.
아래 문제를 풀어볼까요?
초등학교 수준이고, 정말 쉽죠?
근데 실제로 풀게 시키면 두가지 유형의 학생이 발생해요.
1. 우수한 학생의 풀이
2. 넓이에 대한 이해가 없는 학생의 풀이.
여러분들 다 1번처럼 푸시죠? 그게 왜 그럴까요?
바로 넓이의 의미를 직관적으로 이해하고 있기 때문이에요.
이제 두 학생이 다음과 같은 문제를 만났어요.
방정식의 개념만 추가되었죠?
이 문제를 1번학생은 똑같은 문제라 생각하고 쉽게 풀어내지만,
2번학생은 전혀 다른 문제라 생각하고 또 외워요.
공식에 대한 직관적 이해 여부 가 이런 결과를 만들어내요.
2번 학생 되게 웃기죠? 여러분은 안그럴거같죠?
미분이 뭔지 직관적으로 이해하셨나요?
정적분의 성질은요? 벡터의 내적은?
공간도형에서 직선의 방정식은?
원순열은?
위에 제가 제시한 두 문제를 수능 문제로 생각해보게 되면
앞의 문제가 4점문제라면,
뒤의 문제는 1등급을 가르는 킬러문제가 됩니다.
수능이 끝날 때마다, 언론에서는 매번 "올해 수학영역도 기출문제의 반복이다." 라고 하는데,
여러분은 왜 매년 수능문제가 "새로운지" 잘 생각해보세요.
유형이 보여서 실력이 향상되는 건지,
실력이 향상되서 유형이 보이는 건지 잘 생각하셔야 합니다.
(유형도 물론 중요합니다. 하지만 유형에 너무 목매는 것을 경계하셔야 합니다.)
참고 : 위 과정"만" 한다고 킬러문제를 풀 수 있는건 아니에요.
킬러 문제를 풀기 위해 해야 할 과정 중 하나입니다.
칼럼1편 보러가기
http://orbi.kr/bbs/board.php?bo_table=united&wr_id=8225448&showAll=true
조금이라도 도움이 되었으면, 추천해주시면 감사하겠습니당 !
이해안가거나, 궁금한거 있으면 댓글로 달아주세요.
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수만휘에서 활동하시던 그 영어로 오리뭐시기하신분아닌가요 칼럼다뽑아서 봤었는데
스코공부방식을 체화하셔서 응용하시던거 같던데 아니에요...?
네 맞아요 저를 기억하는 분이 있네요!!^^
올해는 그때보다 더 체계적이게, 꾸준히 쓰려구요
와 수고하셨습니다
근데 왜 대상이 이과생만해당되는건가염..?
그리고 변형을 할 능력이부족한데 그냥 간단히 수치들만 몇번바꿔주면 되는건가요?
1. 문과도 고정만점이 되고 싶은데 벽이 느껴진다면 위와같이 하시면 됩니다. 적어도 해서 손해볼 일은 없을거에요.
2. 개념부 바꿔읽기&증명할때 바꿔서하기 말씀하시는 거죠?
처음에는 수치들만 살짝 바꿔서해도 돼요.
나중에 익숙해지고, 여러문제를 풀고나서 복습할때 되면
점점 더 다양한 바꿔읽기가 가능해지셔요!
내일 인쇄할겁니다ㅡㅡ 지우면 ㅇ안대여!
혹시 사진 올리신 기본서 교과서인가요? 어느책인지 알려주심 감사하겠습니다
미래엔교과서에요~!! 지학사도 나쁘진않은거같아요.
제가 직접 살펴본 책은 미래엔미적분1,2,기하벡터 입니당
와우. 진짜 어-썸한 글입니다. 이런 건 추천이얌!!
교과서는 없고 기본서는 있는데 교과서를 사야 할까요?
기본서와 달리 교과서를 보면 어떤것을 얻을수있나요?
1.교육과정의 기본가이드라인이 교과서기때문에 교과서를 기준으로 학습하는게 좋아요.
1)내용적으로 교과서가 *생각열기* 같은 부분이 잘되어있어요.
그리고 제가 말한 도입부개념부예시부의 원칙을 최대한 많이 지켜요.
하지만 기본서는 그렇지 않은 경우가 많아요.
2)목차가 체계적이에요. 다음 칼럼은 목차공부법에 대해 쓸건데 이 목차의 기준이 교과서가 좋아요.
2.이번에 알게된 사실인데 교과서의 문제는 개념을 확인하기 위함이라면, 개념서의 문제는 문제풀이를 위한다는 느낌이 강해요.
수능은 개념에서 출발해서 푸는 문제가 나와요.
사실 저도 처음엔 교과서와 기본서 무엇을 택하든 큰 상관없다고 생각했는데
예제와 중단원문제때문에 (수능준비에 있어서는) 교과서가 더 좋다는 생각입니당
설명자체는 바이블 같은 기본서도 훌륭하므로, 교과서 이해가 안가면 바이블을 보는식으로 해도 됩니다(단 기준은 무조건 교과서가 되야 합니다)
답변 감사합니다 열공할게요!
요즘 개념에 회의감드는게 작년3등급인데요
재수시작하고 미분킬러에 막히는 문제 좀있길래 개념을 알면 못푸는 문제가 없다는말많이들어서 정석 미분부분만 봐도 달라지는게 없어지는 기분이네요ㅠㅜ 선생님들 급은 아니지만 증명도 다할줄알고 공식도 다아는데 15수능30번난이도정도? 못푸는건 여전해요....ㅜ
일단 본문에서 언급한대로,
1.증명할줄 아는 것 뿐만 아니라,
증명에 쓰인 개념+변형도 알아야 하고,
공식자체에 바꿔읽기도 많이 해보면서 응용력도 키워야합니다.
2.도입부와 연결지어 생각하는 연습이 필요합니다.
그래야 공식을 "직관적"으로 이해할 수 있습니다.
직관적으로 이해했나, 못했나의 차이는 본문에서 말했으므로 생략.
그외에 본문에 언급하지 않은 요인들을 말하자면,
3. 개념에 대한 "정리"가 부족할 수 있습니다.
보통 수학선생님들은 개념의 "원리 이해", "심화 이해"만 강조할 뿐,
"정리"는 강조하지 않습니다.
개념은 "정리"가 원리 이해만큼 중요합니다.
개념에 대한 큰 그림을 그리는 과정, 개념을 머릿속에 "깔끔"하게 정리해놓는 과정은
다음 칼럼 #3과 #4에서 소개합니다.
4. 개념에서 출발해서 문제를 푸는 법을 알아야 합니다.
그냥 단순히 "기계적"으로만 풀면 유형적 학습은 잘 되지만,
수능 수학에 필요한 "사고력"학습은 되지 않습니다.
수능 수학을 풀 때, 당연히 거쳐야 할 사고회로가 있는데,
우리는 중고등학교 내신대비를 하면서 이 사고회로를 잊어갑니다.
문제를 푸는 올바른 사고회로를 다시 살려야합니다.
그래야만 "사고력"이 향상될 수 있습니다.
이는 칼럼#6~#7쯤에서 설명합니다.
수능수학은 개념만 착실히 한다고 1등급이 나오지 않습니다.
쉽게 생각하세요.
고정1등급이 되기 위해 갖춰야할 여러 요건들이 있는데,
그중 하나가 개념공부이고, 그 개념공부 요소중 하나가 칼럼 #1과 #2인겁니다.
본인이 개념이해가 잘 되있는데, 문제가 잘 풀리지 않은 것은 아마 제가 위에서 언급한
세번째 이유와 네번째 이유때문일 가능성이 높습니당
와 정성댓글고마워요ㅠㅜ 현역때 기출만5회독넘게하고 3밖에 못받았는데 그럼 개념이 문제일까요?ㅠ정석이라도 다시보면 3인실력이 2~1이 될련지.....단점이 직관력이 너무 심하긴해요.....예를들어 |f(x)| 미분가능성 문제면 좌미분좌극한우미분우극한연속이런거 안따지고 바로 꺾이는곳에 도함수=0 때려박고 맞추는 이런식이라ㅠㅜ 일단은 기출분석?하고있긴해요....
글 잘봤습니다.
위의 ioi님 과 비슷하게 질문이 있는데요.
저는 고2고 기본서를가지고 공부했었거든요.
저 같은 경우는 기본서로 가지고 저 학습법을 실천해도 될까요?
교과서는 내신대비?유형이 적고( 기본서 문제를 풀어보면 되겠지만) 학원이나 과외에서 교과서를 다룰거 같진않아서..
질문을 정리하자면
1 기본서로 저 학습법을 해도되는지..(별로라면 과외를 할예정이면 선생님께 교과서로 부탁하는게 괜찮은지)
2. 마지막으로 공부잘하는? 친구들도 저런방식?생각을 무의식적으로 라도 하나요? 학교에서 공부잘하는 친구들은 별로 중요시 안하는거같아서.. 공식이나 증명같은거에 학습이용
1. 일단 내신은 제가 안좋았어서 자세히 드릴 말씀이 없네요ㅠㅠ
내신이 좋았던 동기의 말에 따르면,
교과서 문제가 중요하고, 그 상태에서 다른 문제를 채우는 식으로 해야한다고 합니다.
본인이 부족하다면 말씀하신대로 기본서 문제를 풀어보면 좋지 않을까요?
하지만, 수능 공부 관점에서는 무조건 교과서로 하세요. 손해볼일 없습니당.
2. 교과서로 개념학습을 하고, 기본서로 다시 보세요.
아니면 기본서로 다시보고, 교과서로 보셔도 되고요.
개념이해의 뿌리는 교과서를 중심으로 합니다.
(손해볼 일이 없습니다)
3. 100% 장담하는데 "무의식"으로 저렇게합니다.
교과서로 저렇게 학습할 수도 있고, 기본서로 저렇게 할 수도 있으며, 혼자 깨우칠 수도 있습니다.
추가로 말씀드리자면,
제가 교과서를 강조하는 이유는
이기 때문입니다.
예를 들면 경우의수에서 잘하는 친구들은
어려운 문제 풀 때, 적당히 경우 나누고, 적당히 곱하고,
적당히 규칙찾아내서 순열 조합 공식씁니다.
이 과정 자체가 흔히 상위권 특유의 "머리빨"로 치부하는 데, "전부" 다 교과서에 있는 내용입니다.
도입부 개념부 예시부 연결하면서 차근차근 공부해야, 상위권 특유의 "머리빨"을 따라갈수 있습니다.
본인이 타고났다면 제가 쓴 방법들 안보고, 그냥 평범하게 해도 됩니다
.
만약 그렇게해서 성적이 오르지 않는다면,
본인이 "감"이 없다 생각하고, 그 감을 키우는 공부를 해야 합니다.
문과생입니다. 제가 듣는 인강 선생님과 관점이 많이 비슷하신것 같아서 도움이 많이 됩니다.(정확히 복습법이 뭔지 몰라서 그냥 문제만 풀었거든요.) 문과생이지만 증명을 배제하고 공식만으로 푸는 수학에서는 한계가 있다고 느꼈는데 교과서를 보니 공식 유도과정을 정말 1도 모르더라구요.. 많이 반성하고 지금은 교과서로 공부하는데 수학적 지식이 쌓이는 기분이 듣니다. 앞으로 더 좋은 칼럼 부탁드려요!!
개념완성이 킬러문제푸는데 일부라고하셨는데요 킬러문제 칼럼도 따로 하시나여>
문제풀이 학습법도 칼럼으로 연재할 예정이에요!
그 칼럼을 보시면 어느정도 감이 잡히실거에요.
따로 킬러문제를 설명할 생각은 없었는데,
추후에 여유가 된다면 6,9월 킬러문제 해설을 올릴 수도 있겠네요!!
다 스크랩해놔야겠어요 글지우지마요 다프린트 할거예요!!
4등급이하도 저대로 할수만있다면 해도 괜찮겠죠?
네, 따라할 수 있다면, 따라해서 손해볼 일은 없어요~
문과생인데 수2는 어떻게 해야할지 감이안와요 증명이라고 느껴지는 부분이 느낌이 잘 안옵니다. 수2는 어떻게 해야할까요??
일단 제가 올해 교과서는 미적1,2,기벡만 살펴봤기에
다른 파트는 섣불리 말씀드리기가 어렵네요. 특히나 수2는 이번에 새로 추가된 부분이라서..
그런데 수학공부의 기본학습법은 위를 벗어나지 않기 때문에,
같은 방식으로 해도 상관 없을 것 같아요. 특히 수2 뒷부분의 수열,지수로그 부분은 제가 수험생 시절 수능범위에 있었던 부분이기도 하고요.
증명이 느낌이 잘 안온다고 하셨는데, 제가 언급한 증명 "학습법"에 감이 안잡히시는 건가요, 아니면 "무엇"이 증명인지 잘 모르겠는건가요~?
혹시 이 개념학습법 과 잘 맞는 인강 강사가 있을까요?
좋은 글 감사합니다.
칼럼 잘 읽었어요! 교과서 활용법에대해 궁금증이 많았는데 좀 해결된듯 하네요.
그런데 한가지 안되는 부분이 미적분2 과목은 교과서를 봐도 치환적분법이나 부분적분법을 제외하면 개념이 이해하기보다는 그냥 단순 공식암기같은데 예제나 유제도 이런개념을 이해하고 녹여서 푼다기보다는 공식외웠니?하고 숫자대입해서 풀어봐 이런느낌이라 알려주신 교과서,증명 공부방법을 하기에 애를먹고있어서 물어봐요..ㅠ물론 증명과정들도 단순 식만 펼치는 느낌이라 핵심포인트라는 부분을 잘 못찾겠네요.
기하와벡터는 그래도 논리적인 흐름을 알고 할수있을거같은데 미적분2는 제가 그 참개념을 못알아차리고있는건지아님 미적분2 과목 특성상 원래그래서 알려주신 스타일로 공부하기 애매한가요..
3번에 2f(x)+x 가 아니라 f(x)+x 오타있네요
좋은 글 고마워요