[박수칠] 놓치기 쉬운 개념/유형 3가지 (3편)
게시글 주소: https://ui.orbi.kr/0008385662
6월 평가원 모의고사가 얼마 남지 않았습니다.
준비는 잘 하고 계신가요? ^^
학습에 조금이라도 보탬이 될 수 있도록
순열과 조합 단원에서 쓸 수 있는 몇 가지 접근법을 정리했으니
시간날 때 천천히 읽어보시기 바랍니다. (어려운 내용은 없습니다 ^^)
(1) 경우의 수를 셀 때, 실험이나 관찰의 결과를 다양한 관점에서 표현해보자.
다음은 2016학년도 수능 6월 모평 B형 9번 문제입니다.
문제를 풀기 위해 연필 5자루를 a, b, c, d, e로 두고,
학생 A, B, C, D에게 모두 나눠준 결과를 순서쌍
로 표현하면 학생 1명이 2자루 이상의 연필을 받는 경우를 나타내기가 어렵고,
순서쌍의 개수를 세는 것도 복잡합니다.
(예를 들어 학생 A, B, C, D가 각각 3자루, 1자루, 1자루, 0자루의 연필을 받는 것을
순서쌍 (3, 1, 1, 0)으로 표현하면 학생 A, B, C가 어느 연필을 받는지를 따로
고려해야 합니다.)
그렇다면 순서쌍을 만들 때, 학생을 기준으로 하지 말고,
연필을 기준으로 해봅시다.
이를 위해 연필을 나눠준 결과를 순서쌍
으로 두고, 몇 가지를 나열하면 다음과 같습니다.
(A, B, C, D, A), (A, A, B, B, B), (A, A, A, A, A), …
따라서 연필을 나눠주는 방법의 수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
연필 a를 받을 수 있는 학생 4가지,
연필 b를 만들 수 있는 학생 4가지,
… ,
연필 e를 받을 수 있는 학생 4가지이므로
곱의 법칙에 따라 4⨉4⨉4⨉4⨉4=1024
그럼 한 문제 더 봅시다.
다음은 2005학년도 수능 가형 이산수학 28번 문제입니다.
순서쌍 (A, B)의 개수를 세기 위해
가능한 집합 A, B부터 몇 가지 나열하면 다음과 같습니다.
여기서 집합 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }의 원소 가운데 몇 개는 집합 A에 속하고,
다른 몇 개는 집합 B에 속하며, 어느 집합에도 속하지 원소가 있을 수도 있습니다.
집합 A 또는 집합 B가 공집합일 수도 있죠.
이처럼 순서쌍을 만든 결과를
두 집합 A, B가 1~6 가운데 어느 것을 원소로 갖는지로 표현하면
집합 A의 각 경우마다 집합 B의 경우를 따져야 하므로
경우의 수를 세는 것이 복잡해집니다.
그럼 순서쌍을 만든 결과를 집합 대신 원소를 기준으로 표현해봅시다.
무슨 얘기냐 하면
두 집합 A, B가 1~6 가운데 어느 것을 원소로 갖는지를 표현하는 대신,
원소 1~6이 어느 집합에 속하는지로 표현하자는 것입니다.
앞에서도 말했다시피
1~6 중에는 집합 A, B 어느 쪽에도 속하지 않는 것이 있을 수 있으므로
집합 A∪B의 여집합을 집합 C로 두면 1~6이 속하는 집합을
다음과 같이 표현할 수 있습니다.
그렇다면 순서쌍 (A, B)의 개수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
1이 속할 수 있는 집합이 3가지,
2가 속할 수 있는 집합이 3가지,
… ,
6이 속할 수 있는 집합이 3가지이므로
곱의 법칙에 따라 3⨉3⨉3⨉3⨉3⨉3=729
(2) 수형도를 작성할 때 불규칙적인 부분은 왼쪽으로 몰아준다.
다음은 2009학년도 수능 6월 모평 가형 이산수학 28번 문제입니다.
조건 (가)~(다)를 보면
문자 a, b, c가 들어갈 수 없는 위치가 주어져 있습니다.
따라서 a, b, c의 위치에 따라 경우를 나누면서 다음과 같이 풀 수 있죠.
세 문자의 위치가 제한되다 보니 구분해야 할 경우가 너무 많아 보입니다.
이럴 땐 차라리 수형도를 그리는 편이 속편할 수도 있죠.
이때, 수형도를
와 같이 작성하면 a 또는 b 또는 c가 들어갈 수 없는 위치인
첫째 자리, 셋째 자리, 다섯째 자리가 띄엄띄엄 놓여있기 때문에
전체적으로 불규칙적인 모양을 가지면서 문자열의 수를 세는 것이 복잡해집니다.
하지만 첫째 자리, 셋째 자리, 다섯째 자리를 수형도의 왼쪽으로 몰아주면
다음과 같이 오른쪽이 규칙적인 모양을 가지면서 문자열의 수를 세는 것이 쉬워집니다.
따라서 모든 문자열의 개수는 2⨉14=28입니다.
이처럼 대상을 나열할 때 위치를 바꿔서 수형도를 작성하는 방법은
다음 문제와 같이 특정 대상끼리 이웃하지 않아야 하는 상황에서는
헷갈릴 수 있으니 주의해야 되겠죠?
(참고로 2009학년도 수능 6월 모평 나형 25번 문제입니다.)
(3) 같은 것이 있는 순열의 수는 조합으로도 셀 수 있다.
서로 다른 n개의 대상 가운데 같은 것이 각각 p, q, … , r씩 있을 때,
n개의 대상 전부를 한 줄로 나열하는 순열의 수는 다음과 같습니다.
(단, p + q + … + r = n)
예를 들어 10개의 문자 a, a, a, a, b, b, b, c, c, d를
한 줄로 나열하는 순열의 수는 다음과 같습니다.
그런데 이 순열의 수는 다음과 같이 조합으로도 셀 수 있습니다.
이처럼 같은 것이 있는 순열의 수를 조합으로 세는 방법을 알아두면
특정 대상의 상대적인 위치가 정해진 순열 문제에
보다 쉽게 접근할 수 있습니다.
다음 예제를 봅시다.
이 문제를 같은 것이 있는 순열로 접근하면 다음과 같습니다.
그런데 주어진 문제로부터 같은 것이 있는 순열을 바로 떠올리기는 어렵고,
세 자음 D, J, N을 D, D, D로 통일하는 과정이 필요합니다.
하지만 조합을 이용하면 별다른 과정 없이
순열의 수를 바로 구할 수 있습니다.
오늘은 여기까지입니다.
6평 착실하게 준비하시고, 좋은 결과 얻으시길 바랍니다 ^^d
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
100들어ㅑ더ㅣ나?
-
뀨뀨 2
뀨우
-
무물 아는선에서 답변해드림 공군입시는 잘 모름. 그외에 궁금한거 질문 고고 전역 D-36
-
함수에서 상수구간 껴있는걸로 푸는거 이 문제가 혹시 원조임? 241020도 비슷한 느낌이던데
-
나도 그대학 입학처 취칙해서 개꿀이나 쳐빨고싶네 ㅋㅋ
-
아빠 옆에 계시고 내가 운전면허 따서 운전하는데 아빠가 주유소로 들어가라고 하심....
-
인하대 예비 0
이거붙나요?
-
ㅋㅋㅋ 병신들 2
-
난 단과대 학생회 선배한테 만갤이랑 빡갤하는거 들켜봄
-
오지훈vs이훈식 0
누가 더 좋음? 오지훈 유자분 좀 들어봤는데 올해 다시 들을지 아님 이훈식 들을지...
-
서강대=동국대 0
둘 다 조발 안 하네
-
인하대 컴공 0
예비 26번인데 추합가능할까요? 작년에는 예비54번까지 돌았는데 올해 모집인원이...
-
전담기기 추천좀 5
젤로 발라리안맥스 아스몬 써봤는데 젤로는 맛표현, 밀어주는 힘? 같은게 너무 약하다...
-
스카이뱃 역순이네 그와중에
-
피램 구매 완료 0
2025 버전 싸게 올라와서 당근으로 구매 완료 독서 김승리 문학 피램으로 목표 달성해야지
-
데이트할래? 2
좋아
-
쉬운데 호흡이 긴 문제
-
그런거냐
-
나쁘진 않다는데 어떡하지
-
삼룡이긴 한데.. 증원도 그렇고 해서.. 최악의 상황이면 여기에 갈수도 있어서 물어봐요
-
수시6장+수능원서+정시3장+책 몇권 사고도 돈이 남아돌게 만들어야겠다
-
서강대 뭐해~
-
고대식 650언저리면 18
어디라인임? 서성한이 그쯤되나? 그리고 보통 저점수로 고대 낮과되나요
-
아 야쓰 마렵다;; 12
이렇게 하는 건가요?
-
노짱님 0
???
-
오르비에 종종 보이는 비호감 유형이 있는데 1. 부모님 직업or재력 자랑+이성한테...
-
정신병이 맞던걸까?
-
ㄹㅇㅋㅋ
-
어렸을 땐 잘했으니까 그 모습만 기억하는 친구들은 기대치가 나보다 높아짐. 그게 나한텐 부담이 됨.
-
694 들고 다른 과도 아니고 영문 넣었다가 떨어지고 결국 복학 아니면 다른 과 재...
-
??
-
글 다 밀었다 5
-
무엇도 해줄 수 없는 내 맘 앞에서
-
현역 고3 올라갑니다 수1,수2 분명 작년에 했었고 자이스토리 다 풀정도에 킬러빼면...
-
여장 처음하는데 평가좀 13
24학년도들어와서는 수열문제의 포멧자체가 달라진거같음. 전에는 약간의 논리적 발상이...
-
여긴 패션시티 6
-
어? 10000회독 해보신 분 있나요 ?? 어어?
-
그때가 진짜 황금기였던듯… 칼럼러, 고수들이 넘쳐났던
-
홍익대학교 새내기 where~~~??? 홍익대 합격생을 위한 면맛집 정리!!!!!!!!!!!! [홍대25] 0
대학커뮤니티 노크에서 선발한 홍익대 선배가 오르비에 있는 예비 홍익대생, 홍익대...
-
극악무도한 반역자는 척결이답이다..
-
나만늦는거같아 7
친구들은이제졸업반인데난.
-
올해 신설 모집단위고 진학사 마지막날 4칸이었는데 혹시 추합끄트머리라도 걸릴까요?
-
ㅈㄱㄴ
-
아주대 자전 0
아주대 자전 지원했는데 진학사 점공에서 181명 중에 150등인데 점공계산기 돌리면...
-
다군 인공지능은 예비11번
-
폰겜추천좀요 11
난이도 낮고 좀 가볍게 할만한걸로 포커를 해볼까
-
인하대 합격 2
항우공 드가자~
-
내가 서강대를 뜬다 걍 중대간다 ㅅㅂ
-
닉네임뭐로바꿀까 8
닉이구리기도하고이닉네임달고수능봤을때잘본적이없어서리프레쉬하고십다노
-
ㅈㄱㄴ
좋은 글 잘 읽었습니다 ㅎ 감사합니다
오~ 인기 폭발 규토님 감사합니다!
시그너처 링크 연결 잘 되네요 ^^
알려주셔서 감사합니다 ㅎㅎ :D
센스가돋보이는풀이!
감사합니다!
21번 순열조합 답 1번 예상
확통이 21번에 나온다면...
난이도 맞추기 위해 얼마나 복잡해질지 예상이 잘 안되네요.
쉬운수능기조지만 확통10문제크리로 1컷최대92예상합니다
음... 저는 가형 미적2 11문제, 확통 9문제, 기벡 9문제, 1컷 96이요!
1문제 증발!
ㅋㅋㅋ 손가락이 삐끗해서 그런겁니다!
가형 미적2 12문제, 확통 9문제, 기벡 9문제, 1컷 96이요!
우어 감사합니다
와우~ 저도 읽어주셔서 감사드립니다.
3번 같은 문제 풀때 아 이거 중복순열말고 다르게 푸는법이 있을까 생각이 자꾸 들었는데 이거였네요! 득도하고 가요 ㅎㅎ
깨달음을 얻으셨다니 글 쓴 보람이 있네요.
읽어주셔서 감사합니다 ^^
와 확통고자한테 정말 도움이 되는 자료네요 ㅠㅠ감사합니디
글 쓰면서 대부분 알고 있을 내용이 아닐까 했는데
역시 필요로 하는 분이 있군요.
차근차근 읽어보시고, 궁금한 부분은
언제든 질문주세요 ^^
수형도 문제 오늘 꽤 고민하다가
결국 b는 2,4번째칸에 넣을수 있으니 곱의법칙으로 2곱하면서 시작한 뒤
조건이 붙는게 a,c니까 a,c에 따라서 수형도 그리자라고 결론 내렸는데
칼럼으로 보니 한결 명쾌해지네요 왼쪽으로 몬다.. 꿀팁얻어갑니다
그 문제로 고민하셨다니 타이밍이 딱 맞았네요!
읽어주셔서 감사합니다 ^^
GOAT
감사합니다 ^^d
2번째 문제에 서로소인 부분집합이라고 되어있는데 둘다 공집합인것도 서로소가 되나여??
'두 집합 A, B가 서로소'라는 것은
A, B에 공통인 원소가 없을 때를 의미하기 때문에
둘 다 공집합인 경우도 해당되죠~
Goat..확통 고잔데 감사드려영
네! 저도 읽어주셔서 감사드립니다 ^^
확통 엄청 못하는데 확통만보면 머리가 하얘져요 탈출비법같은거 없나요? ㅜㅜ 자꾸 생각을 이상하게하네요. 학원샘도 저보고 쓸대없이 어렵게 푼다고해요..
순열과 조합, 확률 단원의 경우에는
개념이 비교적 쉬운 반면에 문제가 변화무쌍하기 때문에
많은 문제를 풀면서 유형별 접근법을 정리해야 합니다.
순열, 조합, 분할 단원마다 대표 유형들을 익혀두고,
주어진 문제가 대표 유형 가운데 어느 것에 해당되는지를 파악해서
접근하는 식으로 연습해야겠죠.
대표 유형에 해당되지 않는 문제는 따로 정리하면서 공부하면 되구요.
반대로 통계는 개념이 상당히 어렵고 문제가 쉽기 때문에
개념과 대표 유형을 반복하면서 개념을 깊이 있게 이해하는 것이 중요합니다.
개념만 제대로 이해하면 기출 문제 중에 안풀리는 것이 거의 없어요.
ㅜㅜ 마플 확률과통계 우형별정리 깔끔하게 정리하면 어느정도 해결되겟죠?? 박수칠님이 말씀한대로 딱 문제보자마자 유형정리가 안되는건 확실한거 같습니다..
마플이면 넘치면 넘쳤지 절대 모자라진 않죠.
그리고 유형을 정리할 때
해설지에 있는 풀이에 따라 정리하는 것이 아니라
그 풀이가 왜 나왔는지 접근 방법에 따라 정리해야 됩니다.
순열과 조합 단원이라면 주어진 실험/관찰의 특성이나,
몇 가지 결과를 나열했을 때의 규칙 등을 파악해서
접근 방법을 정리해야죠.
뒤 문제들을 보니 박수칠 수학 확통 이 나오겠군요..미적2 잘보고있습니다.
박수칠 수학 확통편에 들어가는 문제 맞습니다 ^^
그런데 9월 출판 예정이라 올 수능 준비하는 분들에겐 많이 늦죠.
박수칠 수학 구입해주셔서 감사합니다!
지금 박수칠 미적1 사면 발견된 오타는 다 수정 되있는거 맞나요??
아뇨... 지금 판매중인 것은 1쇄라 오타가 그대롭니다.
그리고 여러 사정상 오타가 수정된 2쇄는 못나올 것 같구요,
내년에 2판으로 판올림하게 될 것 같습니다.
잘읽었습니다! 제가 시간 오래걸린 문제 다 여기있는듯 싶어요ㅎㅎ...
여담이지만 풀었던 문제는 푼적이 있었다는 사실은 기억이 나는데 방법이 전혀 기억이 안나요.. 한 5번째 풀때 되서야 이렇게 풀면 쉽나? 이런생각이ㅠㅠ
그래서 글에 있는 2009년 6월모평 나형 25번도 잘 모르겠네요 공부 더 열심히 해야겠어요ㅠㅠ
기출을 반복할 때 '풀이'를 바로 떠올리기 보다는
왜 그 풀이가 나와야하는지 '접근 방법'을 따지는 쪽으로 공부해야 하는데
익숙해지기 전까진 좀 어렵죠.
어쨌든 계속 반복하면서 이해도를 높이는 것이 중요하니
꾸준히 한다면 어느 순간 머리가 확 트이게 될 겁니다 ^^