[박수칠] 분산을 (편차)²의 평균으로 계산하는 이유
게시글 주소: https://ui.orbi.kr/0008124321
오늘은 어떤 주제로 글을 쓸까 고민하다가 예전에 봤던
조관 선생님의 포스팅 ( http://orbi.kr/0008006413 )
과 관련된 내용을 써보기로 했습니다.
평균, 분산, 표준편차를 열심히 공부한 학생이라면
한 번 쯤은 해봤을 고민이죠.
——————————————————————
왜 분산은 (편차)²의 평균으로 정의될까?
(편차의 절댓값)의 평균으로 정의하면 안되나?
——————————————————————
(변량)-(평균)으로 정의되는 편차는 변량이 평균보다 큰지, 작은지
그리고 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 지표입니다.
그러다 보니 산포도 계산에 편차를 쓰는 것은 지극히 당연한 일이죠.
하지만 편차의 합은 0이기 때문에 편차의 평균 또한 0입니다.
이 때문에 편차를 제곱해서 0 이상의 값으로 바꾼 다음
평균을 계산하게 되고, 이를 분산으로 정의합니다.
여기서 편차의 제곱 대신,
편차의 절댓값을 쓰면 안될까요?
이를 알아보기 위해
세 변량 a, b, c (단, a < b < c)의 대푯값을 x로 두고
(편차)²의 평균과 (편차의 절댓값)의 평균을 조사해봅시다.
(1) (편차)²의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 x에 대한 이차식임에 주목해서
완전제곱꼴로 변형하면 다음과 같습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 일 때
즉, 대푯값 x가 a, b, c의 평균일 때 최소가 됩니다.
(2) (편차의 절댓값)의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 일차식의 절댓값의 합임에 주목해서
분자로 만든 함수의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.
따라서 (편차의 절댓값)의 평균은 x=b일 때,
즉 대푯값 x가 a, b, c의 중앙값일 때 최소가 됩니다.
대푯값 x가 평균일 때 (편차)²의 평균이 최소,
대푯값 x가 중앙값일 때 (편차의 절댓값)의 평균이 최소인 것은
n개 의 변량 에 대해서도 마찬가지입니다.
(3) (편차)²의 평균
따라서 (편차)²의 평균은 일 때,
즉 대푯값 x가 의 평균일 때 최소가 됩니다.
(4) (편차의 절댓값)의 평균
i) n이 홀수일 때
일 때 최소
ii) n이 짝수일 때
x가 구간 에 속할 때 최소
i), ii)로부터
(편차의 절댓값)의 평균은 또는 일 때
즉, 대푯값 x가 의 중앙값일 때 최소가 된다고 할 수 있습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 대푯값이 평균일 때 최소이므로
평균 에 대한 분산을
으로 정의하는 것이 자연스럽다는 것을 알 수 있습니다.
또한 변량 의 중앙값이 일 때
(편차의 절댓값)의 평균
를 '평균편차'라고 하며, 임금 근로자 연봉 분포처럼
변량의 분포가 한쪽으로 치우친 경우에 산포도로 많이 사용합니다.
그리고 대푯값/산포도로 평균/분산(또는 표준편차)을 사용하면
중앙값/평균편차의 조합보다 공식의 변형이 자유롭다는 장점이 있습니다.
덕분에 분산을 { (변량)²의 평균 } - (평균)²으로 계산할 수도 있고,
미분/적분이 상대적으로 쉽죠.
추가적인 장점이 또 있는데
그건 제가 이해를 못해서...
[참고 자료] 기초통계학의 숨은 원리 이해하기 (김권현 저)
[알림] 박수칠 수학 미적분1-적분법 단원 부교재가 업로드 되었습니다.
본교재 문제에 수능/모평/학평 기출 54문제가 추가되었습니다.
다음에 작업할 단원은 미적분2-적분법입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
지금 미적 강기원 공통 장재원 듣고 있는데 장재원쌤 과제 량이나 난도나 퀄리티는...
-
가령 공스타면 공스타끼리 친구추천해주는 느낌인가
-
오늘 하루도 힘차게 살아보자고!
-
확통 쎈b 풀려는데 1. 첨풀땐 딴데다 옮겨풀고 2회독할때 전문항을 다시품? 2....
-
좋아요 구독 부탁드립니다.
-
토-일-월 3일동안 1/6수강 => 18일완강 가능 => 1월에 끝
-
점공인원이 줄더니 내가 2등 올랐어 정말뭘까
-
퇴근했을때도 그렇고 나중에 계좌에 돈 들어오고나면 일하길 잘했단 생각이들어요 열심히하고와야지
-
이런
-
들어올거면 내 뒤로 들어와 미친놈들아
-
배꼽이 없단 걸 의식하고 걱정하지 않으려고 용을 쓰는데 뜻대로 안되는 주인공처럼...
-
매운거먹고싶다 5
속이 근질근질하구먼
-
같은 팀원들 점수 깎인다고 걱정해주던데 ㄹㅇ 착한 도람쥐임....
-
"부처를 만나면 부처를 죽이고, 조사를 만나면 조사를 죽일 것이며, 아라한을 만나면...
-
오늘 안 상식 2
베르무트는 와인이라서 냉징보관을 해야한다
-
알바가기 귀찬아 2
ㄹㅇ그냥 퍼질러자고싶음
-
낼모레는 가네
-
얼버기 5
-
이제 자러가야지 1
좋은 밤 되세요
-
하지만 잇올을 간당
-
ㅇㅂㄱ 9
-
5~6등급인데 션티 들으려고합니다.
-
밖에나가서 공부할라믄 돈이드니까 돈을 최대한아끼려면 집에서 공부해야하는데 집에서는...
-
얼버기 5
갓생 1일차.
-
얼버그 0
얼버그는 얼버기와 레버기에 잡혀먹는다
-
얼버기 3
출근중입니다
-
내가 팔로우해줌 ㅇㅇ
-
오늘 일정 2
8:00 ~ 22:00 : 잇올 22:00 ~ 00:00 : 오르비 및 운동 이후 취침 씹갓생 ㄹㅇ
-
유빈 0
시냅스 수2 답지 올리라고!!!!
-
기차지나간당 4
부지런행
-
확통 미적 고민 10
국어랑 탐구(사탐런 예정)에 시간을 많이 써야되는 상황에서 확통 -4점(다 맞을...
-
전 게이가 아닙니다.
-
ㅈㅅㅎㄴㄷ 5
지금까지 광명상가의 가를 가천대로 알았어요
-
오늘 계획 4
미용실 다녀오기 오르비하기
-
내년에 서울가서 재회하기로
-
만약에 본인이 내년에 26학번으로 입학인데 현역이라는 가정하에 같은 26학번이...
-
전 결혼도 하고싶은데 여자는 특히 결혼할때 나이가 중요하니까 너무 불안하네요
-
나중에 결국 '에이 걍 안가고 말지' 이런마인드로 바뀌면서 의욕떨어지는데 목표를...
-
하..... 여자되고싶다
-
얼버기 2일차 0
-
딱히 진로를 정하진 못했는데 이번에 아주대 전자(자전),미랴모빌리티 두개 넣어서...
-
초딩때 무지성으로 헤헤 최형우 머시따 하면서 볼때는 몰랐는데 수능끝나고 제대로 파니까 개복잡함
-
밝은척하면서 은근슬쩍 까는거+비틱질 역겨워죽게슴 소신발언
-
얼버기 2
-
스카가야지
-
잠이 2
-
지금 안정은 숙대고 홍대도 냈는데 일단 숙대를 가기로 마음을...
-
수면패턴ㅋ.. 2
수면패턴 바꿀거라고 지금 밤샜는데 몽롱하고 그냥 자고싶은데 여기서 자면...
ㅋㅋㅋㅋ 오르비스티커 너무 귀여워여
그러니까요... 진짜 예쁘게 잘나왔어요.
그 외에도 확률변수에 대한 적률 적률생성함수 중심적률등과도 관련이 있지 않을까 생각됩니다.
물량공급님 외계어도 쓸 줄 아셨군요.
좀 배워야겠다...
적률생성함수라는 마법의 도구가 있더라구요
찾아보니 학부 확통 과목에서 배웠던 함수네요.
지금 보니 뭔 얘긴지 하나도 모르겠음 ㅎㅎ
최소점이 평균값이기 때문에 제곱을 쓴다는 건 결과론적인 해석이 아닐까요?
제곱을 써야만 하는 수학적 필연성이랄지, 이런게 있으면 좋을 것 같은데요
예를 들어, 정규분포 함수의 식에는 제곱을 이용한 표준편차가 들어가죠. 만약 표준편차를 다르게 정의했을 때 같은 식을 유도할 수 있는지, 그렇지 않다면 왜 그럴 수밖에 없는지 같은 것들 말입니다
본문의 내용은 결과론적인 해석이라기 보다
{ (변량-평균)²의 합 } / (변량 개수)를 분산으로 정의한 이유의
일부라 할 수 있습니다.
근본적인 이유로 들어가자면
{ (변량-대푯값)²의 합 } / (변량 개수)를 최소로 하는 대푯값이 평균이고,
이 평균을 모집단과 표본의 대푯값으로 쓰면 모평균의 가장 합리적인 추정치로
표본평균이 똭~ 나타납니다.
이 부분을 설명하려면 '최대우도추정법'이라는 걸 알아야 하는데
여기서 굳이 설명할 필요도 없고, 저도 잘 모르거든요 ^^;
그래서 '고등학교 수준에서 이 정도 설명이면 충분하겠다'
싶은 선에서 끝냈습니다.
이런 것 보면 아무 호기심 없이 그랬구나...그렇구나...하고 받아들이는 제 자신이 다행스럽네요. 문과여서 여태 통계문제 풀면서 저런 증명이나 원리를 몰라서 틀린 적도 없고 개이득
몰라도 되는 건 이과도 마찬가지입니다 ^^
그냥 궁금해할 수험생들을 위해 정리한거예요~
loss funtion?
손실함수라...
6시그마 교육받으면서 배웠던 건데
갑자기 왜 나올까요? ㅎㅎ
경영쪽 아니고 경제학부 통계시간에 교수님께 배운건데..
추정량과 모수의 차이를 나타내는 함수를 loss function 이라 하지않나요,,? 이거 배우면서 글에 나온 내용도 같이 알게되고 했던 기억이 나서요~
아~ 용어만 같고, 정의가 다른가 봅니다.
제가 배웠던 것은 품질관리쪽에서 손실 비용 계산에 쓰는 함수거든요.
이유식님이 얘기하신 손실함수까지는 공부를 못해봤어요 ^^
저도 맛보기정도만 한 비루한 학부생입니다 ㅠ
댓글 달아주셔서 감사합니다.
헐 신기하네요 이거 궁금했었는데 감사해요ㅋㅋㅋ 오 신기하다 맨날 하필 왜 제곱일까....이랬었는데
제가 기다렸던 반응이 드디어 나왔군요.
감사합니다 ㅎㅎ
절대값을 왜 안쓸까 했는데 쓰는데가 있기도 하군요
그러게나 말이에요.
저도 참고자료 보면서 처음 알았어요~
조만간 책나오면 살건데 박수칠님 글 너무 도움됩니다 모든글 지우지 말아주세요ㅠ
안지울테니 걱정마세요~ ^^