23학년도 수능 기하 30번 공간벡터로 풀기
게시글 주소: https://ui.orbi.kr/00070921386
삼각형 PQR의 넓이와, 평면 PQR과 평면 α의 이루는 각을θ(단, 0<θ<½π)라 할때 cosθ를 알면 됩니다.
무슨 이유에서인지 점의 레이블을 걸어주지 않았습니다;;
당황스러우니 먼저 정하죠.(윗꼭짓점-밑면 삼각형 반시계방향 순으로 쓰는 것이 보통 일반적입니다.)
먼저 삼각형 PQR의 넓이를 먼저 구하겠습니다.
정사면체 ABCD와 정사면체 APQR는 닮음입니다.
따라서 삼각형 BCD와 삼각형 PQR은 닮음입니다.
(참고로 입체도형의 닮음비와 평면도형의 닮음비는 같습니다.)
그러므로 삼각형 BCD의 넓이와 두 정사면체 사이의 닮음비를 안다면 '넓이비=닮음비 제곱'을 이용하여 삼각형 PQR의 넓이를 구할 수 있습니다.
정삼각형의 경우 외심이 곧 무게중심입니다.
그리고 이 외심은 문제에서 주어진대로 구 S의 중심이므로 점 P와 점 O를 이어준 길이는 곧 반지름이 됩니다.
따라서 이등변 삼각형의 이미지가 나오게 되고 우리는 밑변에 수선을 내려 직각삼각형을 작도할 수 있습니다.
그런 다음 반지름에 정사면체에서 직선과 밑면이 이루는 각의 코사인을 곱하여 윗 그림과 같이 결국 AP의 길이를 알 수 있게 됩니다. 따라서 두 정사면체의 닮음비는 AP:AB=1:3입니다. 이것이 곧 삼각형 PQR과 삼각형 BCD의 닮음비이므로 둘의 넓이비는 1:9가 됩니다. 따라서 삼각형 BCD의 넓이를 9로 나눠준 값이 삼각형 PQR의 넓이가 되겠네요^^
구해주면(윗 그림 참고) 
이제 평면 PQR과 평면 α의 이루는 각을θ(단, 0<θ<½π)라 할때 cosθ를 구합시다.
그런데 평면 α는 구에 접하는 평면이므로 법선이 확실하게 보장되어있습니다. 따라서 이면각을 교선을 찾아 그대로 보기 보다는 법선과 법선이 이루는 각으로 봐도 상관이 없습니다. 즉 두 평면에 대한 법선벡터를 성분화할수만 있다면 내적을 통해 cosθ를 쉽게 구할 수 있는 것이죠.
성분과 좌표는 동일한 것이 아니지만 정사면체에서는 다음과 같이 좌표를 잡는것이 가능합니다.
좌표는 분수가 안나오도록 세팅하는 것이 관건입니다.(굳이 구의 반지름이 6이라는 것에 집착할 필요 없어요. 어차피 윗꼭짓점을 닮음의 중심으로 하여 다 닮음인 공간도형이므로 법선벡터끼리는 평행합니다.)
아무래도 삼등분점 상황, 무게중심을 구할때 3으로 나누는 것, 최소 단위의 숫자를 사용할 것을 모두 감안하게 되면 단위값을 3으로 설정하는 것이 좋습니다.
이제 각 평면에 대한 법선벡터를 구해 볼게요.
먼저 평면 PQR에 대한 법선벡터는 그냥 (1,1,1)로 잡으시면 됩니다. 어차피 윗꼭짓점을 닮음의 중심으로 하는 모든 정사면체의 법선벡터는 가장 간단하게 표현할시 (1,1,1)이 될 수 밖에 없습니다.
이제 평면 α에 대한 법선벡터를 구해봅니다. 구에 접하는 평면이므로 그 법선벡터를 알려면 구의 중심과 접점에 대한 정보가 필요합니다. 따라서 구의 중심은 (2,2,2), 접점은 (1,1,0)이므로 빼주면 법벡은 (1,1,2)
내적을 통해 cosθ를 구해주면 
따라서 정사영은 
제곱해주면 답은 24.
봐주셔서 감사합니다
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
갑자기 무서워졌음 25
대학 라인 보는 글 보면서 ㅇ에ㅇ에ㅔ에엥 이게 의대가 안된다고?? ^ㅣ발뭐야...
-
컴공 일기261 4
동적 배열을 즉석에서 한번 구현해봤습니다.이동시맨틱, 대입연산, 복사생성, …,...
-
10만 덕 보내기가 최대인데 진짜 100번 누르심? 안 힘드셨나요
-
배가 고프다 2
배고프면 자야지…
-
힘풀면 흘러내려버려요오오오옷
-
몬스터 오랜만에 마셔서 잠이 안옴...
-
컷 내리기 전까지 쭉 추합권 중간쪽이었긴 한데 내 앞으로 들어올까봐 쫄리네
-
리스크 분산이고 이득도 분산인데 망하는게 이득 아님? 조별 과제 안하고잇는거에 대한 변명임..
-
GOAT 0
-
2025마더텅 2
2026꺼 새로 사는게 맞나요?
-
제가여…서울 일반고 다니는데 제가 과탐 선행을 안해봐서 지금 방학때 열심히...
-
오후되면 우르르 몰려와서 정상입결되겠지...
-
?
-
스카추천좀 4
해주새요 님들은 보통 공부 어디서함? 전에 가던곳 지겨워서 다른곳 가고 싶은데 추천받아여
-
내신 bc 하늘이무너질듯
-
?
-
오르비 좀 손에서 놓으라고
-
-
앙앙거리기밖에 못하는 암퇘지에요오오옷
-
서강대는 자연대마저 안되고 성대는 낮공 불가에 한양대는 낮공까지만 가능인데...
-
아 살너무쪗다 2
얼굴이 동그래졋서 옛날사진보는데 안타깝군 1키로만 산책해더 숨이차는 기적의 체력...
-
김상훈t 독서론 0
예비고3인데 상훈t꺼 문학론 들어보니까 딱 저가 찾던거라 문학은 들을생각이고...
-
예
-
1학기 내신을 물화로 할지 물생으로 할지 너무 고민입니다. 평반고이고요, 내신은...
-
말리면 때려버립니다
-
사탐은 안되나
-
연고대 이과기준 1..칸수 올라가는 곳 (더 널널해지는곳) 은 쓰지 않도록 해요.....
-
오늘 원서 넣느라 낙지 통합회원 전환해서 가입했는데 4
왜 모의지원상으로 내가 두 명이 됐지 18등 저거 저임뇨 이대로 다음 업뎃까지...
-
지금은 딱히 먹고픈 마음은 없고 집에 신라면 작은컵, 김치사발면, 컵누들 있음
-
(가) 자손의 탄생은 인간이 자기보존으로 나아가는 중대한 경험으로, 시대와 공간을...
-
순서대로 가나다 셋다 다섯칸이고 140 / 32 / 16 명 모집 나군이 1지망인데...
-
특--> 사과 4칸이라 진짜 폭날까봐 개쫄림ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
-
쿨쿨 2
-
1/1 ㅇㅈ 2
할머니집 갔다오느라 공부를 6시에 시작함뇨
-
미치겠네 진짜 연고대 스나해야 하는데 4칸 3칸 2칸 1칸 다 표본은 적고 안빠질...
-
으아아아아앙
-
생윤을 할까~하고 찾아보면 생윤 하지 마세요 ㅈ같아요 지리를 할까~하고 찾아보면...
-
한양대 건도토환 서강 인문학부+ 공대 복전 어느게 나을까요? 환경공학쪽은 취업 어떤 편인가요?
-
다군 추합 0
올해 다군 추합이 별로 안돌게 될까요? 안정을 다군에 박는건 에바라고 하신 분이 계셔서ㅠ
-
약대 아님 어디가 더 나음?
-
실제 모의지원 넣을 수 있나요?
-
오늘 처음 듣네 그런말은 도대체 누가한거지?ㅋㅋㅋㅋ 아 좀 긁혔다
-
저도 그렇고 주변인들 때문에 스트레스 받는 수험생들이 꼭 새겨야 할 명언인듯 하네요..
-
개망함 잠안옴 0
왜 눈이 안감기냐..
-
이거 이렇게 뜨는데 학생부를 꼭 제출하란 말인가요?
-
으흐흐흐흐….
-
입결 어케되려나?
-
중학수학부터 막 시작한 쌩노베구요 50일 수학, 이미지 신발끈 다 수강,...
-
소주 말고 맥주요 그저께 두캔마시고 어제 한캔 마셨는데 오늘 또마시고 싶어서요...
고능아
감사합니당
않이..
저는그냥 선 찍찍 긋고 풀래요
기하는 알아도 기벡은 잘 몰루..
사실 제가 푼 풀이는 굉장히 돌아간 풀이에여. 마지막처리 과정에서 길이 다 알 수 있으니 그냥 코사인 법칙 쓰면 됨 ㅋㅋ
그냥 정사면체 좌표 잡는거 적용해서 풀려고 억지로 공간벡터를 사용한 감이 있죠.