고3 10월 학평 수학 20번 오류
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어제 치뤄진 고3 학평 20번 문제
좌변이 제곱수이므로 우변은 "항상 0 이상일 수 밖에 없다"
모든 실수 x에 대하여 성립한다고 했으므로 3을 기준으로 범위를 나눠보자
1) 'x가 3 이상일 때'
적분 방향이 +이므로 t가 3이상일 때 (t² + 2t)f(t)는 0 이상이어야 한다
(t² + 2t) 그래프를 그려보자
(t² + 2t)가 3 이상일 때 항상 양수이므로 f(t)는 3 이상일 때 0 이상이어야 한다
2) 'x가 3보다 작을 때'
적분 방향이 -이므로 t가 3보다 작을 때 (t² + 2t)f(t)는 0보다 작거나 같아야 한다
(t² + 2t) 그래프를 보면 3보다 작을 때 0~3에서는 양수, -2 ~ 0에서는 음수, -2보다 작을 때 양수이다
따라서 f(t)는 0~3에서 음수(또는 0), -2~0에서 양수(또는 0), -2보다 작을 때 음수(또는 0)여야 한다
이를 종합하여 f(t) 부호를 살펴보자
-2, 0, 3을 기점으로 부호가 바뀌거나 계속 0이 되어야 하므로
-2, 0, 3일 때 x축(t축)을 지날 수 밖에 없다
그런데 해설지와 ebs 해설에서는 부호는 1도 고려하지 않고
그냥 무지성 미분을 때려버리고 끝낸다
저들이 정답이 되는 케이스라고 제시한 f(t)는 앞에서 구한 부호 조건을 만족시키지 못한다
이 논리는 올해 6평 15번에서 똑같이 적용된다
같은 논리로 g(t) 부호를 고려하여 풀어야한다
잘못된거 있으면 알려주세영
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와드
확정적인건 0~3에서만 음수 or 0인 거 아닌가요?
3근처에서는 피적분함수의 부호가 결정되어야겠죠
하지만 모든 실수에 대해서 피적분함수의 부호가 결정되는 건 아니지 않나요
오차함수 그려보니까 ㄹㅇ 안되는거 같기도 하고
아 문제 자체는 오류 없는데 제곱>=0은 고려 안하고 낸 느낌이긴 하네요
그래프가 항상 양수인 게 아니라 적분 값이 양수인 거임
내가 맞았기때문에 오류없음.
아무튼 그런거임 ㅠ
우변 식을 좌변으로 넘겨서
g(x)=0 상수함수니까
모든 실수 x에 대하여 g'(x)=0
이런식으로 접근하셔도 될듯?
1) 'x가 3 이상일 때'
적분 방향이 +이므로 t가 3이상일 때 (t² + 2t)f(t)는 0 이상이어야 한다
=> 함수값이 양수다가 음수 조금 찍먹하고 다시 양수 돌아오면 적분값은 여전히 양수에요~
물론 3 직후에는 f>=0 이겠지만요
위 에피 두 분께선 글을 대충 읽으신 것 같고
님이 하고 싶은 말이 뭔진 알겠는데 "적분 방향이 -이므로 t가 3보다 작을 때 (t² + 2t)f(t)는 0보다 작거나 같아야 한다" 이게 아닐거임
케이스 두 개 그래프 그려보면 첫 그림에서 아마 x>=0 범위에선 그래프가 바닥에 쫙 깔릴 거고 첫 봉우리 넓이가 둘째 봉우리 넓이보다 작으면 저 조건이 성립함
둘째 그림은 저거 그대로일 텐데 위에서와 마찬가지 원리로 저 조건이 성립할 거고
(그림들은 밑댓에)
그래서 오류는 아니지 않을까?
사실 나 저거 틀렸고 10모 수학 2뜬 수학병신이니까 반박 환영...
근데 그럼 윗분 말이 정확한 거 아닌가요?
(x^2+2x)f(x)가 x<3에서 꼭 계속 음수일 필요는 없다는 게 결국 정적분이 양수라고 피적분함수가 내내 양수는 아니라는 건데
틀린 말이란 얘기가 아니라 러프하게 설명하셨단 뜻이었어요
아 글을 대충 읽었다길래...
어쨌든 저 말이 맞아요
오류는 없어요
첫 케이스를 직접 구간을 나누어 적분해 보면, x<0에서 1/9x^4(x+3)^2, x>0에서 0으로 나와 항상 양수인 걸 확인할 수 있어요
사실 생각해 보면 부호 문제를 고려할 필요가 없는 게, 계산만 제대로 했다면 미적분학의 기본정리에 의해 2f(x)f'(x)=2(x^2+2x)f(x)가 모든 실수에서 성립하고 f(3)=0이면 문제의 식도 모든 실수에 대해 성립해야만 하고, 그럼 당연히 우변의 식도 항상 0보다 크거나 같겠죠
적분값이 0이상일때 피적분함수가 무조건 부호가 결정되야하는게아니라 3근방에서만 결정되는것입니다
3에서 적분거꾸로갈때 양수가 쌓이다가 음수가 조금 갉아먹어도 여전히양수입니다