미분에 대하여

오랜만에 공부 얘기 좀 써 보려고 합니다.

제목 그대로 미분에 대해서입니다. (제가 제목 짓는 센스가 없어서...ㅋㅋ;;)

“미분계수란 무엇인가요?”라고 물으면 아마 “접선의 기울기”라고 대답하겠죠?

맞는 말이긴 하지만, 제 경험에 비추어 보면, 여기서도 찝찝함이 조금 남습니다.

“왜 접선의 기울기를 궁금해하지? 애초에 미분은 왜 하는 걸까?” (궁금해하세요.)

이 물음에 대한 저의 답을 이야기하고자 합니다.

우리가 모르는 함수 가 한 점  를 지난다고 합시다.

이 정보만을 갖고 우리가  에 대해서 무엇을 더 알 수 있을까요?

우리가 정확히 알 수 없는 때로는 복잡하고 때로는 추상적인 이상한 함수라도 우리는 이 함수를 알아야만 한다고 합시다.

결국 우리는 이러한 함수를 우리가 “통제하고 다루기 쉬운 꼴”로 “근사”해야 하겠지요.

여기서 두 가지를 명확하게 해야 합니다.

1. 우리가 통제하고 다루기 쉬운 꼴은 무엇인가?

2. 어떠한 근사가 좋은 근사인가?

우리가 통제하고 다루기 쉬운 대표적인 꼴은 "선형", 일차함수가 될 것입니다.

즉, 우리는 미지의 함수 를 아주 좋은 일차함수로 선형근사하고자 합니다.

그렇다면 어떠한 직선이 좋은 근사가 될 수 있을까요?

함수 가 점 를 지난다는 조건에 의하여 기울기가 미지수인 직선을 생각해 봅시다.

그러면 원래 함수와 당연히 오차가 생기겠지요. 그 오차를

라고 합시다.

아래 그림을 보면, 점와 멀어질 수록 일반적으로 원래 함수와의 차이는 커질 수 있겠지요.

하지만  에 가까워질 수록 그 차이는 의 값에 상관없이 항상 0에 수렴하게 됩니다. 

그럼 여기서 가 어떠한 값을 가져야 차이가 0으로 가장 빠르게 줄어들 수 있을까요??

위의 두 번째 물음인 좋은 근사에 대한 답이 바로 다음과 같습니다.

좋은 근사 = 원래함수와 선형근사시킨 직선의 오차가 가장 빠르게 줄어들도록!

직관적으로, 오차가 줄어드는 속도가 가장 빠른 직선이 가장 좋은 선형근사라고 할 수 있겠습니다.

이제 우리는 오차가 가장 빠르게 줄어들도록 직선의 기울기를 결정해야 합니다.

이때 0으로 줄어드는 속도가 빠르다는 것은 극한의 언어를 빌려와서 설명할 수 있습니다.

똑같이 0을 극한값을 갖더라도 함수식이 갖는 인수의 개수가 더 많을수록 더 빠르게 0으로 수렴할 수 있겠지요? (조금 더 엄격하게, big O notation, little o notation을 통해 설명해야겠지만 넘어갑시다.)

0이 되는 인수를 하나 제거하더라도 여전히 0으로 줄어든다면 속도가 더 빠르다고 할 수 있겠습니다.

이것을 수식으로 옮겨 적으면 다음과 같겠네요.

우리가 찾은 기울기가 다음과 같게 됩니다!

우리는 위 극한값이 되는, 선형근사시킨 직선의 기울기를 "미분계수"라고 부르기로 약속한 것입니다.

그리고 이렇게 선형근사시키는 행위를 "미분"이라고 약속하며,

이런 최적의 선형근사가 가능하다면, 즉 위의 극한이 존재한다면 우리는 "미분 가능"하다고 부릅니다.

긴 글 읽어주셔서 감사하고, 여러모로 조금이나마 도움이 되셨길 바랍니다.