분수 해석과 상댓값 (feat.화학2, 근수축)

분수 해석과 상댓값 (feat.화학2, 근수축)

안녕하세요^^ 제가 수험생활 때 자주 쓰던 작은 팁을 공유하려 합니다.

이미 아시는 분들도 있겠지만 그래도 써볼게요.

처음 쓰는 칼럼이니 부족한 점이 있어도 너그럽게 봐주세요^^

<EBS손은정 선생님, 오르비 전자책 어나더클래스의 영향을 일부 받았음을 알려드립니다>

◇분수 해석

생1의 근수축, 화2의 화학반응식 문제에서는 분수로 제시된 자료를 제시하는 경우가 많습니다.

특히 화2에서는 분수 자료가 매우 잦죠.(특히 몰 분율같은)

또한 근수축 문제에서도 분수자료가 많이 활용되고 있습니다.

이렇게 자주 제시되는 분수 자료를 좀 더 쉽고 빠르게 해석하는 법을 공유하려 합니다.

일단 사전개념으로 '변화량' 과 '고정값' 이란 용어를 소개하겠습니다.

☆변화량 

변화량은 어떤 상황에서 변화하는 다양한 값 중 하나의 변화 정도를 기준으로 잡고 그에 대한 다른 값들의 변화 정도의 상댓값을 나타낸 것입니다.

예를 들어, 생1에서 한 근육 원섬유 마디에서 전체 마디(기준)의 변화량을 상대적으로 +2라 하면 H대의 변화량도 +2입니다. 또 액틴과 마이오신이 겹치는 부분의 절반은 -1의 변화량을 갖죠.

(위 그림에서 X의 변화량을 +2라 하면 ㉠의 변화량은 +1, ㉡의 변화량은 -1, ㉢의 변화량은 +2 입니다.)

또한, 화학에서는 예를 들어 화학 반응식  A+2B->2C 이 있다고 하면 저는 A의 변화량을 -1, B의 변화량을 -2, C의 변화량을 +2라 정의하겠습니다.

☆고정값

이 부분이 이 글의 핵심입니다. 결론부터 말하면 '변화량을 연산하여 0을 만든다' 입니다.

먼저 230610 생1 문제를 보겠습니다.

위 자료에서 분수의 1,2,4 등은 약분을 거친 결과이기에 서로 같은 스케일의 수로 볼 수 없습니다. 다시 말하면 예를 들어 위의 ㉡의 2는 4의 절반의 값이라고 할 수 없죠. 그러나 고정값 활용을 이용하면 약분 전의 분수, 즉 같은 스케일로 분수를 조정할 수 있게 됩니다. 이는 변화량을 이용함으로 가능합니다.

위 분수에서 분자의 변화량은 ㉠-㉢= (+1)-(+2)=-1 입니다.

(꼭 ㉠의 변화량을 +1이라 할 필요는 없습니다. 한 마디의 변화량을 +1이라 하면 ㉠의 변화량은 0.5가 됩니다)

이때 분모의 변화량은 -1이고요. 이때, 분모와 분자의 변화량을 적당히 상수배하고 더하거나 빼서(일차결합) 0을 만들 수 있는 방법을 찾아 봅니다.

이 경우는 (분모의 변화량)-(분자의 변화량) 혹은 (분자의 변화량)-(분모의 변화량)이 0이 되겠네요.

그러면, 그 0이 된 연산의 값은 항상 일치해야 합니다. 이 일정한 값을 고정값이라고 하겠습니다.

다시 말해 위 경우라 하면 (분모)-(분자)의 4-1과 2-1은 서로 같아야 합니다.

그런데 3과 1로 서로 다르죠? 그러면 적당히 통분을 해서 같게 해 주면 됩니다. 즉 1/2를 3/6으로 만들면 됩니다. 그러면 (분모)-(분자)의 값은 모두 3으로 같게 됩니다. 물론 문제 상황에 따라서 2/8와 6/12 로 바꿔도 되겠죠?

그런데 여기서 (분모의 변화량)-(분자의 변화량) 이 0이면 왜 서로 뺀 값이 항상 같아야 하는지 궁금하실 수 있습니다.  그 이유를 수식적으로 보이면, 예를 들어 분수 a/b에서 분모의 변화량이 +2, 분자의 변화량이 +1이라 합시다. 여기서 0을 만들려면 2×(분자의 변화량)-(분모의 변화량)=0 인데 a와 b가 각각 변화했을 때 분수는 a+x/b+2x 꼴로 표현됩니다. 이는 2×(분자)-(분모)의 값인 2a-b 의 값이 일정하다는 의미입니다.

이 개념은 화2에도 동일하게 적용됩니다.

특히 몰 분율 해석에 유용하죠.

여기서는 화학 반응식의 계수를 변화량으로 쓰면 편리합니다. 여기서 반응물의 계수는 (-)부호를, 생성물의 계수는 (+)부호를 붙이면 됩니다.

230919 화2 문제를 보겠습니다.

이 문제에서 A/B+C 형태의 분수에서 분자의 변화량은 -1, 분모의 변화량은 +2 이므로  2×(분자의 변화량)+(분모의 변화량)=0 입니다.

이때 (가)에서   2×(분자)+(분모)의 값들은 각각 5,10,20 인데 모두 같아야 하므로 최소공배수를 찾으면 되겠네요. 즉 20으로 통일하면 분수들은 각각 4/12, 2/16, 1/18 이 됩니다(보통 숫자가 큰 분수가 변하지 않는 경우가 많습니다).

다른 문제를 보겠습니다.(221119)

여기서도 분자의 변화량이 +1, 분모의 변화량이 -2 이므로  2×(분자의 변화량)+(분모의 변화량)=0 입니다.

그러므로  2×(분자)+(분모)의 값들인 15(7은 7/1로 봅니다), 60을 최소공배수 60으로 바꾸면 각각 28/4, 29/2 가 됩니다.

또한 (나)에서 초기 몰 분율이 2/3이라는 말을 분수값이 1/2 이라는 의미로 이해할 수 있으므로 2×(분자)+(분모)의 값들은 반응 전 4, 3t일때 16으로 이해할 수 있습니다. 따라서 반응 전의 분수를 28/4, 29/2 로 볼 수 있습니다.(반감기가 t라는 것도 바로 확인되네요^^)

◇상댓값

'상댓값' 을 이용하면 분수해석을 더 효율적으로 사용할 수 있습니다.

상댓값이란 별게 아니라 실제적인 수치(실제값) 대신 값들 사이의 비율을 간단한 자연수 등으로 바꾸어 사용하는 것을 말합니다. 예로, 바로 위 문제에서 (가)의 2t의 A의 양을 2, B의 양을 29라 보는 것입니다. 물론 정확한 실제값이 아니기에 나중에 다시 바꾸어야 하겠지만 몇 가지 주의사항만 지키면 계산이 편리해집니다.

앞에서 소개한 생1 230610 문제를 보겠습니다.

먼저 t1보다 정보가 많은 t2 에서 X의 길이를 상대적으로 30이라 하겠습니다. (상댓값과 실제값은 ×10의 규칙을 갖겠네요.) 그러면 A대의 길이는 16이므로 ㉠은 7이고, 7-㉢/㉡=1/2, 2㉡+㉢=16 을 연립하여 ㉡=6, ㉢=4 라는 것을 알 수 있습니다. 여기서 만일 고정값을 활용하지 않는다면 다시 t1의 상태를 알기 위해 일차방정식을 풀어야 하겠지만 고정값 활용을 통해 분수를 각각 1/4와 3/6으로 이해한다면 바로 t1에서 ㉡=4 라는 것을 알 수 있고 바로 ㉠=9, ㉢=8 이라는 것을 알 수 있습니다. 그러면 각 수 앞에 소수점. 만 찍어주면 자료해석 완료!

(이때 실제값으로 되돌리지 않으면 큰일나요) 

다른 문제도 볼까요?

(230919)생1             

여기서는 F1에서㉠의 길이를 상대적으로 1, ㉢도 1이라 합시다. 그러면 X/㉡=4이므로 3+2㉡=4㉡, 즉 ㉡=1.5 입니다. 여기서 A대의 길이는 상대적으로 2×1.5+1=4이므로 상댓값과 실제값 사이에 ×0.4의 규칙이 있음을 알 수 있습니다.(A대의 길이가 1.6이기 때문에)

여기서 F2의 상황을 분석할 때 변화량과 고정값이 활용됩니다.

㉢의 변화량은 +2, ㉠의 변화량은 +1이라 하면 ㉢-2㉠의 변화량=0인데 F1의 1을 1/1로 보면 ㉢-2㉠의 값이 F1과 F2의 값이 -1로 같습니다. 그러므로 F2에서의 ㉢의 상댓값을 3, ㉠의 상댓값을 2라 할 수 있고 변화량에 의해 ㉡은 0.5라 할 수 있겠네요. 이제 모든 상댓값에 0.4만 곱해주면 끝납니다.

여기서 직관적으로 1/1 --> 3/2 이면 분모 1증가, 분자 2증가라서 따로 손댈 필요가 없다는 것이 보이면 그것도 훌륭합니다.

상댓값을 활용할 때 주의할 점은 상댓값이란 것을 항상 인지해야 한다는 것과 실제값과의 규칙(비례상수)를 잊지 말아야 한다는 것입니다.

이를 위해서 문제 풀 때 ×0.4 식으로 따로 규칙을 눈에 띄게 적어주는 것을 추천합니다. 또한 너무 깔끔한 상댓값에 집착하는 것도 지양해야 합니다. 꼭 자연수 상댓값이 아니더라도 소수점 한 자리 정도까지는 자연스럽게 계산하면 좋겠습니다.(화2에서 특히) 

화2 문제도 풀어보겠습니다. (230919)

(가)상황: 앞에서 보았던 것처럼 A/B+C 형태의 분수에서 분자의 변화량은 -1, 분모의 변화량은 +2 이므로 각각 4/12, 2/16, 1/18로 볼 수 있고 온도 T1에서의 반감기는 t임을 쉽게 알 수 있습니다. (가)의 반응전 상태에서 A의 양을 상대적으로 8이라 하면 (t에서 4이니까) A의 양은 실제 2몰이므로 상댓값과 실제값 사이에 ×4의 규칙이 있음을 알 수 있습니다. 이를 적어두고 자료를 분석하면 초기>t로 변화할 때 A4감소, B4증가, C4증가 이므로 t에서 4/12의 12=4b+8, b=1입니다. (이후 풀이는 생략)

화2 에서는 굳이 상댓값을 실제값으로 바꿀 필요가 없는 경우가 상당히 많습니다. 이 문제처럼 실제값이 제시되어 있어도 비례상수만 잘 써두면 필요할 때 바꾸면 되죠. 

화2 몇 문제만 더 보겠습니다. 

(220718)화2

B/A 에서 (분모의 변화량)=-1, (분자의 변화량)도 -1 이므로 분모-분자의 값은 항상 일정해야 합니다. 실험1의 초기상태에서 B-A의 값이 1이므로(PV=기체의 양 이라고 할게요) 실험1의 평형상태에서의 3을 1.5/0.5로 보아야 합니다.(3=3/1->3-1=2이므로 1을 만들기 위해 분모,분자에 1/2를 곱하여)

실험2의 평형상태에서의 6도 초기상태의 B-A의 값인 2를 고려하여 2.4/0.4로 바꿉니다. (이하 생략)

사실 이 문제를 손은정 선생님께서 이런 방식으로 푸셨고 저가 그걸 보고 더 발전시켜서 하나의 테크닉으로 사용하게 되었습니다.

하나만 더 소개하겠습니다.

몰 분율도 일종의 분수입니다. B의 몰 분율은 B/A+B+C 인데 B의 변화량은 -2, A+B+C의 변화량은 (-1)+(-2)+(2)=-1입니다. 그러므로 2×(분모)-(분자)의 값이 일정하다는 것을 알 수 있습니다. (가)에서는 초기상태에서 2×(분모)-(분자)의 값이 2×(0.5)-(0)=1이므로 1/3에서의 2×3-1=5를 1로 바꾸기 위해 분모, 분자에 0.2를 곱해서 0.2/0.6으로 바꾸면 되겠습니다. 즉, B 0.2, A 0.2, C 0.2몰이 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 

(나)에서는 초기의  2×(분모)-(분자)의 값은 2x-0=2x이므로 2/5의 2×5-2=8이므로 분모, 분자에 x/4을 곱하면 B 0.5x, A 0.25x, C 0.5x 가 있다는 것을 알 수 있습니다. 

변화량을 생각하고 고정값을 찾는 이 방법은 처음에는 어색하고 느릴 수 있지만, 익숙해지면 빠르고 정확하게 분수 자료를 해석하는 유용한 방법이 될 수 있습니다. 여기에 상댓값도 같이 이용하면 더욱 좋고요.

제가 소개한 것들 외에도 다양한 문제에서 활용될 여지가 있습니다. 이 글이 많은 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 좋겠습니다. 

처음 쓰는 글이라서 오타나 오류가 있을 것 같은데 지적해주시면 감사하겠습니다.

감사합니다.