[서울대 수교과] 함수의 연속, 정의역이 핵심이다.

안녕하세요! 저는 서울대 수학교육과 다니는 신동성 이라고 합니다.

간단이력
-휘문고 고1때 전교 435명중 415등, 뒤는 다 운동부로 전교꼴찌
-3수 서울대 생물교육과, F학점 6개
-4수 서울대 수학교육과

 나름 우여곡절이 있었죠?ㅎㅎ

여하튼, 오늘은 함수의 연속에 대한 간단한 칼럼을 써보고자 합니다!!

1. 연속의 정의
2. 연속의 판단
3. 함수의 연속, 정의역이 핵심이다.

이렇게 구성해봤는데요, 함수의 연속의 기본적인 내용을 숙지하고 계시다면 1,2는 스킵하고 3번만 보셔도 괜찮습니다.

1. 연속의 정의
 혹시나 저처럼 공부를 늦게 시작하신 분들을 위해! 연속의 정의부터 간단하게 살펴보겠습니다.

f(x)는 끊어져있고, g(x)는 이어져있죠?
여러분의 직관과 정확히 일치합니다. f(x)는 연속, g(x)는 불연속인 것이죠.

예시를 하나 더 살펴볼까요?

위의 세 함수는 모두 다 불연속입니다.
직관적으로, 끊어져 있으니까요.

그렇다면, 끊어져있는지, 이어져있는지를 수학적으로는 어떻게 판단할까요?

[정의]

연속의 정의는 위와 같습니다.

함수 f(x)가 x=a에서

1. 함수값이 있고
2. 극한값이 있고
3. 둘이 같을 때

f(x)는 x=a에서 연속이라고 하죠.

이를테면,

이렇게

1. 극한값이 존재하고

2. 함수값이 존재하고
3. 둘이 같은

연속함수가 있을 수 있죠.

불연속의 예시로는


case 1. x=a에서 함수값이 없어서 불연속

case 2.  x=a에서 좌극한 =/= 우극한 이므로, 극한값이 없어서 불연속

case 2.  x=a에서 좌극한과 우극한이 무한대로 발산하므로, 극한값이 없어서 불연속
***무한대는 극한값이 아닙니다! "값"이라고 하려면, 특정한 실수로 수렴해야 해요.***

case 3. 극한값도 함수값도 있지만, 둘이 달라서 불연속

이런 불연속 케이스들이 있습니다. 간단하죠?

2. 연속의 판단

앞서 살펴본 예시에서, 직관적으로 f(x)는 끊어져 있다고 이야기했습니다.

f(x)의 연속성을 수학적으로 판단하는 방법은 아주 간단하죠?
[연속의 정의]에서 보았던 세 조건을 차례대로 체크하면 됩니다.

1. 함수값 존재

2. 극한값 존재

따라서 좌극한 =/= 우극한 이므로, 극한값이 존재하지 않네요. 그러니 f(x)는 불연속이겠어요.

3. 함수의 연속, 정의역이 핵심이다

여기까지는 아주 쉬웠을 겁니다.

오늘 제가 강조하고 싶은 건, 연속성 판단은 정의역을 꼭 고려해야 한다는 거에요.

이를테면 f(x)를 봤을 때, 우리는 끊어져 있으니 불연속함수라고 이야기하지만, 사실 그건 x=2에서의 이야기죠.
2를 제외한 나머지 모든 x에서는 f(x)도 연속입니다.

그러니, 이를테면 x=3에서도 연속, x=-1에서도 연속, 정의역을 x<2로 제한했을 때에도 연속인 것이죠.

특별한 일이 없다면 모든 실수 x에 대해 연속인 함수만 "연속함수" 라고 칭하지만, 그래도 언제나 정의역을 잘 고려해야 해요.

이를테면 이런 문제를 만났을 때, 위의 풀이와 같이 우리는 x=3에서의 연속성만 체크할 거에요.

그런데, 문제에서는 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 a를 요구했죠?

그렇다면 여기서 이상함을 느껴야 해요.

실수 전체의 집합에 대해 물어봤는데, 왜 x = 3에서의 연속성만 체크해도 되는걸까?

정답은 아주 간단합니다. 3이 아닌 모든 실수 x에 대해, f(x)는

1. (다항함수)/(다항함수), 즉 (연속함수)/연속함수)이고
2. (분모)=/=0이므로

무조건 연속이죠. 따라서 3이 아닌 모든 실수 x에 대해서는 별도로 고려할 필요가 없었던 거에요.

너무 쉽고 당연한 얘기죠? 그러나, 이런 쉽고 당연한 생각들이 어려운 문제에도 그대로 활용됩니다.

2022학년도 3월 모의고사 12번 문제입니다.
ebs 기준 정답률 43.3%로, 마냥 쉬운 문제는 아니었죠.
꼭 한 번 직접 풀어보신 후 아래를 읽으시길 추천드립니다! 귀찮음말구ㅋㅋ!

어려운 문제를 풀다가, 내가 어디까지 했는지, 이제부터 뭘 해야 하는지 어리바리 해본 적이 분명히 있을 거에요.

제가 위에서 이야기했던 정의역 체크가 그 해답이 되어줍니다.


이렇게, 봐야 할 곳과 안 봐도 되는 곳을 구분해주는 게 아주 훌륭한 길잡이가 되죠.
그 다음에는 계산만 하면 됩니다.

x=2, x=1, x=a에서 연속성 체크,

그를 통해 f(x)와 g(x)를 완성하고,

그를 통해 h(x)를 구하면

 h(1)도, h(3)도 구할 수 있겠죠?

마지막 계산은 생략했습니다. 중요한 건 정답 숫자가 아니라, 생각하는 방법이기 때문이에요.



어려운 문제에서 우리를 힘들 게 하는 건 방향성 잡기 입니다.

내가 뭘 하고 있었지? 앞으로 뭘 해야 하지? 가 아주 사람을 미치게 하죠.

그걸 극복하는 방법은, 굉장히 머리가 좋아야 한다거나, 번뜩이는 아이디어를 캐치해야 한다거나 그런 게 아닙니다.
필요충분적 조건해석이 그 극복법이죠.
그리고 시험장에서 조건을 필요충분적으로 해석하려면 평소에도 조건을 필요충분적으로 해석해야 합니다.

또, 어려운 문제에서 조건을 필요충분적으로 해석하려면 아주 쉬운 문제에서도 조건을 필요충분적으로 해석해야 하고요.


사실, 오늘 칼럼을 준비한 이유가 바로 이거에요.
아주 쉬운 연속 문제에서 쓰였던 아이디어가 어려운 연속 문제에도 똑같이 쓰인다는 것,
어려운 문제를 풀기 위해 대단히 특별한 무언가가 필요하지 않다는 것을 전달드리고 싶었습니다.




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많이 관심가져주시면 감사드리겠습니다 헤헤,,



이상입니다! 다음에도 또 재밌는 주제 들고 놀러오겠습니다.
도움이 되었다면 추천팔로우댓글 많관부!