재능은 없는데 의대는 가고 싶다면 (ft. 241128미)
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이렇게 하면 하루에 내가 해야할 일에 투자할 14시간을 확보할 수 있고
잠이 부족하다 싶으면 1시간 늦게 일어나고 1시간 일찍 잠들어
8시간을 확보함으로써 계획 수정 가능합니다.
제가 2022학년도 수능 준비하던 고등학교 3학년 때 지켰던 틀인데
최소한 이 정도의 '성의'는 보여야 목표 대학, 학과에 합격할
'자격'을 갖추었다고 말할 수 있지 않은가 조심스레 생각하고 있습니다.
2024학년도 수능 응시하신 수험생 분들 모두 고생하셨습니다,
2025학년도 수능 응시하실 수험생 분들 모두 응원합니다!!
p.s.
올해 수능 미적분 8문항 중 가장 어려웠던 문항이 28번이라고 개인적으로 생각하고 있는데,
2g(t)+h(t)=k라는 수식을 보고
로 이어지는 사고의 흐름을 떠올리지 못했다면 현장에서 어떻게 접근할 수 있었을지에 대해
개인적인 생각 조금 남겨봅니다.
먼저 x<0에서의 f(x)식이 제시되었기 때문에
도함수와 이계도함수의 부호 변동을 조사해봄으로써 함수의 개형을 그려줍시다.
x<0에서 함수 f(x)는 감소하다가 원점을 향해오고 있음을 확인할 수 있습니다.
이때 실수 전체의 집합에서 f(x)>=0이고
발문의 이 부분에 초점을 두면 대충 그래프가 이렇게 생기지 않을까?
하는 생각을 해볼 수 있습니다.
즉, x<0에서 감소하다가 원점을 지나고 x축을 따라가다가
어느 시점부터 다시 양의 무한대를 향해 증가하는 꼴을 떠올릴 수 있습니다.
이제 문제 상황의 가장 핵심적인 관계식인 2g(t)+h(t)가 일정하다는 정보를 활용해봅시다.
먼저 t>0 처럼 어떠한 변수의 범위가 정해진 상황이라면
경계값을 조사해보는 것이 일반적으로 도움이 될 수 있습니다.
이때 문제에 주어졌던 정보들을 수식으로 정리하면 다음과 같고
이로부터 함수 g(t)의 t=0에서의 우극한을 조사해주면
함수 h(t)의 t=0에서의 우극한도 알 수 있습니다.
따라서 우리는 t=0에서 충분히 작은 양수 h에 대해
t=0+h이 될 때 방정식 f(x)=t의 x<0에서의 실근은 0에 충분히 가까운 음수가 되고
x>0에서의 실근은 k에 충분히 가까운 음이 아닌 실수가 될 것임을 확인 가능합니다.
k가 음이 아닌 실수라고 생각할 수 있는 이유는 다음과 같습니다.
만약 k가 음수라면 t가 0에 충분히 가까운 양수일 때
방정식 f(x)=t의 실근 중 작은 것이 0에 충분히 가까운 음수,
큰 것이 k에 충분히 가까운 음수인데 k<0이기 때문에 h(t)<g(t) 꼴이 되어
모순이 발생하기 때문입니다.
첨언하자면 함수 h(t)의 t=0에서의 우극한이 수렴하는지 여부는
h(t)=-2g(t)+k 로 식을 작성하고 극한을 조사해보시면
g(t)와 k의 극한이 수렴하기 때문에 수렴함을 확인할 수 있었습니다.
그럼 사진 속 1로 잡아둔 x절편을 k라 생각했을 때
상황을 만족시키는 함수의 그래프를 보는 셈이 되겠습니다.
따라서 적당히 구간 (0, 7) 내에 k가 위치한다고 가정해보면
이제 주어진 두 관계식 f(g(t))=t, f(h(t))=t가 함수 g, h가
주어진 각 구간에서의 함수 f의 역함수라는 뜻이므로
역함수를 이용한 치환적분을 떠올려봅시다!
관계식을 줬다는 것은 쓰라는 뜻입니다.
f(g(t))=t도 관계식이었습니다, 다시 한 번 역함수를 이용해 치환적분합시다.
이때 다시 관계식 2g(t)+h(t)=k를 써주면
를 얻을 수 있습니다.
이후 식을 정리해주면 다음과 같습니다.
사실 여기에서 두 가지 생각 중 하나가 들어줬어야 한다고 생각합니다.
1. 왠지 f(7)-k=0이 되어 한 항이 사라지고
f(7)-7=-2 (g(t)<0) 가 되어 등식이 성립할 것 같다.
2. 미분 가능한 함수의 역함수는 일반적으로 미분 가능한 함수이기 때문에
(원함수의 미분계수가 0이 되는 순간 제외) 주어진 관계식의 양변을 미분해보자.
전자는 발상적이니 2g(t)+h(t)=k의 양변을 미분한 2g'(t)+h'(t)=0를 생각해보십시다.
이때 이 양변을 미분하는 과정을 떠올려보면
이와 같은 관계식을 얻어낼 수 있습니다.
원래는 저기서 t_1이 t_2로 한없이 가까워지는 극한을
양변을 t_1-t_2로 나누어 취해주면 2g'(t)+h'(t)=0 얻습니다.
이제 여기에 beta, 0, k, 7을 대입해주면
새로운 관계식 하나를 얻어낼 수 있고, 이는 위에서 떠올랐으면 좋았을 생각 중 하나인
f(7)-k=0에 해당함을 확인할 수 있으십니다.
(앞서 2beta+7=alpha=f(7))을 얻어두었기 때문입니다.)
따라서 f(7)=5이고 k=5입니다.
답 내줍시다!
p.s. 현재로서 2024학년도 수능 미적분 28번에 대해
생각하고 있는 바는 다음과 같습니다.
1. 순간변화율(=미분계수)은 평균변화율의 극한이라는 개념에 기반해
2ㅣDelta g(t)ㅣ=ㅣDelta h(t)ㅣ를 떠올릴 수 있었으므로 교과서 기반
2. 함수의 확대, 축소를 이해하고 있었으면 x>0에서의 f(x)식을 확정지어
문제를 상대적으로 쉽게 해결할 수 있었으므로 '과연 킬러문항 배제인가' 싶음
3. 2017학년도 수능 가형 30번의 경우에도 논리적 풀이, 교과서 기반 풀이보다
결국 현장에서는 '평균변화율로 정의된 함수'임을 파악하여
문제 상황을 직관적으로 해결해보는 것이 강력하게 작용했던 것으로 들었는데
그렇다면 수능 수학은 결국 직관에 기반한 시험이라는 결론에
도달할 수 있을 것인지
(이는 2024학년도 수능 수학 (미적분) 가채점 원점수 100점 분의
견해를 참고한 생각임을 밝힙니다.)
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저 정도의 성의면 성의도 가겠군요.옯하하하하.ㅋㅋㅋㅋㅋ 저 정도의 성의에 적절한 재능과 운이 결합된다면 현역 정시로도 뚫을 수 있을 것이라 생각합니다 (team 06 파이팅~~)
약연 님께서는 2025학년도 수능 대비에 있어서도 수능 수학과 관련된 활동을 이어가실 계획이신지 여쭤봐도 될까요? 궁금합니다
12월 8일에 성적으로 대학 진학/복학 여부를 정하고 복학이든 진학이든 2025 수능엔 참전할 계획이에요 :)참전이라 하심은 가르치고 설명하는 행위 외에 직접 응시하신다는 뜻이겠군요... 파이팅입니다!!
응원 감사드려요 선생님 :)<문제의 전체적인 구조>
1. 함수 f(x)의 구간 [0, 7]에서의 적분값을 통해 관계식 2g(t)+h(t)=k에 주어진 k값 결정 (이때 k와 f(7), 방정식 f(x)=7의 실근 중 작은 것에 관한 일차연립방정식을 풀어야 함)
1-1. t=7일 때 2g(7)+7=f(7)에서 관계식 1개
1-2. 역함수를 이용한 치환 적분 or 영의 정리 2번 통해 관계식 1개
1-3. 2g(t)+h(t)=k로부터 일정한 t값 변화량에 대해 ㅣg(t)의 변화량ㅣ의 2배가 ㅣh(t)의 변화량ㅣ임을 이용하여 관계식 1개
2. 관계식 2g(t)+h(t)=k 활용해 f(8), f(9)의 값을 f(-1.5), f(-2)값으로 구하기
<더 생각해볼 만한 부분>
1. 함수 g(t)의 t=0에서의 우극한이 0임은 논리적으로 보일 수 있지만 함숫값이 0임은, 다시 말해 g(0)=0임은 보일 수 없다. 어떻게 논리적으로 보일 수 있을 것인가?
--> 교과과정 내로는 함수 f(x)가 x=0에서 연속이라는 점에서 함수 g(t)가 t=0에서 불연속일 수 없음을 (정확히는 t=0에서의 우극한과 함숫값이 일치함을) 논리적으로 설명할 수 있음 but 함수의 극한 자체를 엡실론-델타 논법 없이 직관적으로 다루기 때문에 완전히 논리적이라고 보기는 어렵다는 개인적 생각
--> 교과과정 외로는 이상적분을 가져올 수 있음. 예를 들어 치환적분 과정에서 함수 g(t)의 구간 [0, f(7)] 혹은 본문 중 표현을 빌리자면 구간 [0, alpha]에서의 적분값을 구해야하는데 이를 구간 [p, f(7)]로 생각한 후 p->0+인 극한으로 생각하면 논리적으로 보일 수 있음
2. 관계식 2g(t)+h(t)=k의 직관적인 이해?
--> 사실 필자는 첫 풀이 때 2g'(t)+h'(t)=k 혹은 2ㅣDelta g(t)ㅣ=ㅣDelta h(t)ㅣ임을 발견 후 대충 x>0에서 f(x)가 xe^(x^2)과 같은 꼴로 정의될 것이라 생각했음. 문제에 주어진 수치 4x와 4x^2이란 것도 2*2x, (2x)^2로 바라볼 수 있기 때문에 그래프의 확대/축소가 먼저 떠오르긴 했음
ㄴ 이로부터 살펴볼 때 논리적 풀이 완성과 사고과정 작성은 실력 향상과 그에 따른 성적 향상에 직접적인 도움이 될 수 있다 생각하더라도, 결국 현장에서는 직관적으로 떠오르는 바들을 따라가보는 것이 도움이 된다는 결론.. 에 도달할 수 있지 않나 조심스레 생각. 예를 들어 241122도 사고과정, 풀이를 논리적으로 작성하려고 하면 이런저런 가정들과 경우의 수 분류가 들어오지만 사실 임의의 정수 k에 대해 직선 x=k 들 그려두고 적당히 그래프 그려보다보면 f(x)=x(x-1)(x-k) or f(x)=x(x+1)(x-k)일 것 같다는 느낌이 들어올 수 있었음.
+ 처음에 k=0이라면? 2g(t)+h(t)=0에서 구간 [0, 7]에서의 적분값을 x=h(t), dx=h'(t)dt 치환 적분 이후 2g(t)+h(t)=0 적용해 t=f(x), dt=f'(x)dx 치환 적분 걸었을 때 모순 발생
+ 만약 07이라면 적분값이 0이 되어 마찬가지로 모순 발생
역함수와 관련된 문항의 경우 대응점 잡기 등이 중요하게 작용하기 때문에... 현장에서는 음함수 미분법 문항 혹은 지수로그함수 ㄱㄴㄷ 문항 풀 때와 비슷한 감성으로 한 쪽 구석에 관계식과 t=7일 때 각 값들 논리적으로 작성해두고 접근할 필요가 있었지 않았을까 조심스레 생각해봅니다.
24를 거쳐 25로
TEAM N수 ㅍㅇㅌ
사교육 줄이겠다던 킬러 문항 배제, 그렇게 2024학년도 수능은 다량의 n수생을 배출해내고... (2027학년도 수능에서 절정에 달하게 되는데)
현장에서 이걸 쉬이 떠올리지 못하는 건.. 경험의 문제인지, 상상력 한계의 문제인지 ..
1. 경험
공통, 선택 각각 4000, 2000문제씩 풀어보셨나요? 아니라면 더 많은 문제를 경험해보시기 바랍니다. 권해드리는 자료는 '마플 수능기출총정리'입니다. (N제'들'은 값이 꽤 나가서, 그리고 하나 같이 웬만하면 어렵더라고요 ㅜㅜ 친구들 푸는 거 풀어보면)
2. 상상력
Isaksen의 Creative Approach to Problem Solving 이었나 이 책 참고해보시면 좋겠습니다. 상상과 창의적인 사고가 훈련을 통해 향상 가능하다.. 이러한 느낌의 내용을 Creative Problem Solving이라는 이론(?)으로 설명하는데, 수학 문제 풀 때 접근법이나 문제 만들 때 아이디어 떠오르는 것에 있어 도움이 될 수 있겠다고 느꼈습니다.
3. 100분 활용 훈련
1분 내로 접근을 시작할 수 있는 문항들을 실수 없이 차분하게 마무리 지어두고, 이번 28번처럼 고민이 필요한 문항들에 투자할 시간을 확보하여 여유를 가지는 것도 중요하다고 생각합니다. 이처럼 '100분 동안 최고 점수 만들어내기' 훈련을 각종 시험지를 통해 가능하다고 생각합니다. 고3 기준으로 6모 이후 주 1회 실모면 충분하다 생각하지만, 걱정되시면 실모 100회 정도 풀면 충분하지 않을까 생각합니다.
와 진짜 감사합니다!! 피와 살이 되는 조언들이네요