정적분으로 정의된 함수 (ft. 220620, 2111나20)

현 수능 수학에서는 연속 함수에 대해서만 적분을 다루기 때문에 f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속인 함수라고 하겠습니다.

위의 수식이 지니는 의미는 단순합니다.

적분 구간 [a, x]에서 (혹은 구간 [x, a]에서) 함수 f(x)를 적분한 값이라는 뜻입니다.

미적분학의 기본 정리를 이용하면

주어진 함수 g(x)를 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

그럼 해보고 싶은 것이 2가지 생깁니다.

하나는 x=a를 대입하여 우변을 0으로 만드는 것이고

다른 하나는 F가 f의 부정적분 중 하나이니 양변을 미분해보는 것입니다.

이것이 교과서에 소개된 '정적분으로 정의된 함수'의 기본 내용입니다.

만약 이런 식으로 g(x)에 변형을 주면 어떨까요?

t는 어차피 적분 변수이니 아래처럼 바꾸어도 상관 없습니다.

혹은 아래처럼 바꾸어도 상관 없기 때문에 우리는 지금 상황에서의 t, y가 하고 있는 역할을 dummy variable이라고 하곤 합니다.

아까보다 상황이 조금 복잡해졌으니 적당한 x값을 대입해 상황을 파악해봅시다.

앞선 상황과 달리 적분할 함수가 계속 변합니다.

따라서 우리가 바로 미적분학의 기본 정리를 적용하기에는 어려움이 있습니다.

x값에 따라 적분할 함수가 달라지니 미적분학의 기본 정리를 적용한 결과물도 달리지기 때문입니다.

그래서 우리는 상황을 단순하게 바라보기 위해 위와 같은 식 조작을 통해 x를 적분 밖으로 꺼내줄 수 있습니다.

어차피 t라는 dummy variable에 대한 적분이고 수능 수학에서 우리는 다변수 함수를 다루지 않기 때문에 위와 같은 생각을 이어갈 수 있습니다.

함수 tf(t)에 대한 적분을 이와 같이 이해해주면

이와 같은 결론에 도달할 수 있습니다. 그리고

첫 예시와 같은 맥락에서 이 또한 알아낼 수 있겠습니다.

선택과목이 확률과 통계 혹은 기하이신 분들을 위해 첨언하자면

g''(x)는 g'(x)의 도함수이며 g(x)의 '이계도함수'라는 말을 쓰곤 합니다.

이제 한 단계 더 나아가봅시다.

이와 같은 상황은 어떻게 다루면 좋을까요?

앞선 'x는 변하기 때문에 적분 밖으로 꺼내주면 편하다'는 생각을 이어가면

이와 같은 식 조작을 해볼 수 있겠고

한 번 더 나아가 

라는 정보와 

까지 정리해볼 수 있겠습니다.

혹은 g(x)가 다음과 같이 정의되어 있다면

다음과 같은 정리가 가능하겠습니다.

그럼 결론이 나오죠!

추가로 우리가 어떤 함수의 도함수를 구해보는 이유가 주로 도함수의 부호 변동을 조사하여 원함수의 개형을 작성하기 위함인데

임을 이용하면

임을 알 수 있어 함수 g'(x)가 실수 전체의 집합에서 감소하지 않음도 확인할 수 있겠습니다.

2022학년도 6월 20번입니다. 같은 방식으로 접근해봅시다.

먼저 x에 관한 것들을 적분 밖으로 꺼내주고

적분 구간의 길이를 0으로 만들어보고 양변을 미분해보니 이와 같은 결과를 얻을 수 있었습니다.

이제 바로 위 예시였던 상황에서 확인할 수 있던 도함수의 부호에 관한 정보에 초점을 두면

실수 전체의 집합에서 이것이 성립하기 때문에

g'(x)를 구성하고 있는 이 함수는 실수 전체의 집합에서 감소하지 않는 함수임을 확인하실 수 있습니다.

이후 문제 풀이는 더 생각해보시면 좋겠습니다!

2021학년도 수능 나형 21번입니다. 마찬가지로 주어진 함수 g(x)를 정리해보면

를 확인하실 수 있습니다.

그럼 마찬가지로 함수 2x와 함수 \int_a^x f(t)dt의 곱을 해석해 풀이를 이어갈 수 있겠죠!

p.s 내신 대비였다면 '라이프니츠 정리'였나? 해서 이와 같은 상황을 보다 빠르게 정리하는 공식을 알아두면 좋을 수도 있는데... 우리는 수능 수학 공부하고 있으니 거기까지 들어가진 맙시다 ㅋㅋㅋㅋ