참고) 230615를 눈풀하는 엄밀한 방법
게시글 주소: https://ui.orbi.kr/00063649578
메인글 보고 급하게 한 번 다시 써 보겠습니다. 23학년도 6월 평가원 모의고사 15번 문제입니다.
이 문제를 간편하게, 그렇지만 엄밀하게 눈풀할 수 있는 방법이 있습니다.
수열의 생김새를 보면 a2는 a1에 1/(k+1)을 더하고, a3은 a2에 1/k를 뺌을 알 수 있습니다. 여기서 이것이 반복된다고 생각해 볼 수는 있습니다.
그렇지만 증명하지 않고 넘어가면 제대로 된 풀이가 아니죠.
왜 저렇게 되는지는 매우 간단합니다.
보조정리라 할 것까지도 없습니다. 그냥 통분해서 정리하면 보일 거예요.
그리고 같은 경우에서
이 성립함은 더 쉽게 알 수 있습니다.
그렇다면 이제 어떻게 할 건지 감이 오시나요?
수학적 귀납법과 비슷한 방법으로
이라는 사실을 알 수 있습니다. (2k+1)이 수열의 주기의 배수가 된다는 것이죠.
그리고 여기서 구할 수 있는 k가 가능한 모든 k라는 걸 증명하겠습니다.
어렵지 않아요. 그냥 k와 k+1은 서로소임을 기억하면 됩니다.
그러면 저 점화식에서 (2k+2)번째 항이 1 다음으로 최초로 0이 되는 항임을 알 수 있습니다.
즉 (2k+1)이 이 수열의 주기라는 것이죠!
(4k+3), (6k+4), (8k+5)... 번째 항이 0이면서 그 항들만 0임을 알 수 있습니다.
제가 풀었을 때(현장은 아니었지만) 이 풀이를 바로 떠올렸습니다.
그렇다면 풀이는 이 정도로 축약할 수 있습니다.
1. 이 수열은 0 이하면 1/(k+1)을 더하고 양수에서 1/k을 빼는 수열이다.
2. 그런데 가능한 모든 경우에 대해 1/(k+1)을 더한 후에는 양수, 1/k을 뺀 수는 음수가 된다.(보조정리 참고)
3. 따라서 이 수열의 주기는 2k+1이다.
4. a_22가 0이므로 (2k+1)이 21의 약수이다.
5. 따라서 가능한 모든 k는 1, 3, 10이므로 합은 14이다.
떠올리기는 쉽지 않지만 생각만 한다면 1분 안에 푸는 것도 무리는 아닙니다.
유익하셨기를 바라면서 마치겠습니다! 좋아요와 댓글 환영합니다!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
프사 이걸로 해야겠다 11
칸나 ㄱㅇㅇ
-
이런 느낌으로 시험지가 잘 보이게 푸는 영상 보내주시면 다 보고 피드백하는 방식으로...
-
이감이랑 상상 파이널 둘다 샀는데 다는 못풀거같아서 그런데 각각 좋았던 회차랑...
-
보추 5
-
이야~ 1
료이키텐카이
-
이름 뭘로하지
-
맞누ㅡ
-
제일 열심히해야하는게 맞겠지
-
수능 땐 준킬러 난이도 확 올려서 정상화 좀 하는게 아님 답 없을듯
-
실전개념 기출 수특,수완 N티켓 시즌2 4규 실모 20회 정도 보고갈거같은데...
-
못푼거는 안찍는게 낫겠죠?
-
이거 어렺나요? 미적입니다
-
이 야발 모기쉐키덜 13
왜 나만!!!!!!!!!!!!!!!! 모기로 누끼 따고 있다고오오옥!
-
대학 급간이 낮아지는 소리가 들리는군 앙♡버터 먹어야지
-
실력이 부족한건가요
-
크아악 내 메론빵이 11
마지막 남은 1개 다른 분이 눈앞에서 집어가심..
-
하
-
걍 기본에 충실한 사람이 맞추는거 아닐까 싶음
-
초딩 고학년 정도로 보이는 애들 둘이서 영어로 유창하게 대화해서 자괴감 듦 기특한놈들
-
여붕이들아 4
이대하고 중대붙으면 어디갈껴?
-
1.더그파 제외 비유전 쪽 빡빡한 생명 실모 뭐가있음? 2. Oz모, 식센모 둘중에...
-
나는 태양력 철도 개설 연도 외울게
-
처음엔 자작 21,22,29,30 보면 와 어려워도 시간 충분히 들여서 풀면...
-
비결은 바로 논리에 있다. 어느 한 강사의 논리강의를 듣고 연마해 완성의 단계를...
-
21번 보면 함수가 중점의 y좌표가 19/2인데 함수 한개를 x로 -2 y로 2만큼...
-
(22번을 1q에 올리며)
-
현시점 확통 0
9모 84 공통 1틀 확통 3틀인데 확통이 너무 부족한 거 같습니다 n기출 확통...
-
어케하는거임요? ㅈ도 안보이는데 아오 걍 코사인 2번 쓸래
-
그래 너만은 날 안버려 우리같이 가는거야.
-
공립학교 0
졸업 4년지났는데 아는 선생님 이제 없겠죠?
-
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
기억하는 04들 있나 다들 어케푸심?
-
여기에서 XZ_2의 밀도가 서로 같고 혼합 기체 전체의 부피가 (가) : (나) =...
-
공부왜해야하노..
-
175/60 운동 뉴비가 주4일씩 한다는 가정에
-
ㅈㄱㄴ
-
나 어릴땐 학생들만 썻엇는데 요즘성인들도 많이 쓴다네요
-
한양대 근황) 한양대 재단 자본잠식이라는 얘기가 있더니 축제가... 11
공연하다 두 곡하고, 전기 없어서 껐다고 하네요... 뉴스나 커뮤 보면 한양대...
-
비가오면 3
문학공부하고싶어져
-
졸리다
-
우리 학교만 압수했구나
-
이제보니까 책이 8주 강의라 8개가 맞는거같은데 제가 배송 다시켰는데 6개밖에...
-
ㅇㄱ ㅈㅉㅇㅇ? 4
수학 미선택자>>기하 선택자
-
시발점만 보면 꼼꼼하게 봤을때 진지하게 최대 몇까지 가능하다 생각하심?
-
과외 시간 외에도 모르는건 문제 풀이 적어서 보내줌?? 아니면 과외시간에만 해줌??...
-
용언에 의한 높임실현은 특수어휘만을 가리키는 거 맞나요
-
ㄱㄴ?
특히 실전에서 시간 부족할 때는 가능성 높은 걸로 찍어서 맞추면 그만이니까요
전 저 때 반복 아니면 문제 왜 냄? 이라는 마인드로 풀었었던 기억이 ㅋㅋ
기초 정수론인데 확장해서 추상대수학에서 쓰기도 한답니다!
정수론 재밌어했던 게 작년 6모나 수능 15번을 쉽게 푸는 데 도움을 준 것 같아요!
ㄱㅁ
저 문제 때문에 작년 6모 끝나고 정수론 도움된다고 약팔이한 기억이 있네요
혜안이 대단하십니다 선배님
아!!!! p/k+1 - q/k 꼴에서 p=q=1 해보고, 음수니까 p에 2 넣고, 그럼 양수 되니까 q=2 넣고..를 반복해서 p=k+1,q=k일 때 an=0을 만족하는거군요 신기해요
아마 정수론이 도움이 되긴 한 것 같습니다 ㅋㅋㅋㅋ
저는 조금 더 간단하게 생각했던 것 같습니다.
21의 약수를 떠올리며 케이스분류해서 1분안에 풀리더라구요!
저건 설명하려고 일반화한 거에 가까운데 풀 때는 한 10초 정도만에 풀긴 했죠
저 이거 작년부터 이해 못하고 있었는데 지금 이거 보고 이해함뇨 ㄱㅅ
그런데, 보조정리가 성립하려면 k가 n보다 커야만 하지 않나요?
k가 n 이상이어야 해요!
한 주기 내에서 볼 때를 기준으로 생각했더니 급하게 쓰느라 실수한 것 같네요...