일차방정식, 이차방정식, 삼차방정식, ...
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이거 몇 차 방정식일까요?
a가 0이 아니면 일차방정식일 것입니다.
그럼 양변에 b를 빼준 후 a로 나눠주면 아래를 얻을 수 있겠습니다.
참고로 만약 a가 0이라면 아래처럼 분류할 수 있겠습니다.
이건 몇 차 방정식일까요?
마찬가지로 a가 0이 아니면 이차방정식일 것입니다.
모든 이차식은 A^2+B 꼴로 나타낼 수 있기 때문에 그 과정을 따라가보겠습니다.
괄호 안이 최고차항의 계수가 1인 이차식이 되었기 때문에 일차항 계수의 절반의 제곱에 해당하는 상수를 잡아줘봅시다.
식을 정리해주면 아래와 같습니다.
양변에 루트 씌워줍시다.
정리해주면 아래와 같고, 만약 b^2-4ac의 부호가 음수라면 주어진 이차방정식의 해는 존재하지 않을 것입니다. 이는 수학(상)에서 열심히 공부했던 이차방정식의 판별식을 통한 근의 존재 유무 조사와 같은 맥락입니다.
그럼 대충 절댓값 풀어주면 이차방정식의 해는 아래와 같겠습니다. 근의 공식이죠?
따라서 '모든 이차식은 A^2+B 꼴로 나타낼 수 있다'는 아이디어를 통해 우리가 이차방정식의 해를 구해봤습니다. 앞으로 인수분해 각 안 보이거나 근의 공식 못 외우겠을 때는 '이차식을 A^2+B 꼴로 표현해보자'라는 문장을 떠올려봅시다. 이때 A는 독립변수를 포함하는 일차식이고 B는 상수일 것입니다.
그런데 삼차방정식 이상이나 다항방정식이 아닐 때에는 어떻게 해결해야할까요? 이걸 우리가 수학2 도함수의 활용에서 처음 배웁니다.
우리는 아래의 방정식의 실근을
아래 두 함수의 그래프의 교점의 x좌표로 구할 수 있습니다.
예제는 많으니 직접 해보시면 학습에 도움 될 것입니다! 또한 이는 미적분에서 지수함수, 로그함수, 삼각함수 미분법과 몫, 합성함수, 음함수, 매개변수, 역함수 미분법을 학습한 후에도 똑같이 적용됩니다.
p.s. 삼차방정식의 근의 공식도 존재하긴 합니다. 궁금하신 분들은 아래 영상 참고해보시면 좋겠습니다.
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헉