(수학) "고난도 문제 치트키 2" 공개!!

 안녕하세요. 어수강 박사입니다.

오늘은 "거의 모든 문제에 즉각 적용 가능한 치트키 2"에 대해 포스팅하도록 하겠습니다.

 

1. 먼저, 아래의 문제에 대해 생각해 봅시다.



이 문제에 대해 별 고민 없이 "4차식"이라 하면 안됩니다. 왜냐하면 위 식은

1. x, y를 모두 문자로 생각하면? 4차식

2. x만을 문자로 생각하면? 3차식

3. y만을 문자로 생각하면? 1차식

이기 때문입니다. 즉, 다항식은 무엇을 문자(또는 미지수나 변수)로 생각하는지에 따라서 차수가 달라집니다.

PS. 스포?하자면 수학 (상), 수학 2에서는 다항식만 다루죠? 차수가 달라지면 풀이도 달라집니다. 따라서 "수학 (상)", "수학 2"에 등장하는 거의 모든 대상에 대하여, 무엇을 문자로 볼지에 대한 고민을 해야 합니다!! 이에 대해 예를 통해 알아보도록 하겠습니다.



2. 다항식의 차수가 달라지면? 사용할 수 있는 성질도, 풀이도 달라지게 됩니다! 아래의 문제를 살펴봅시다.



[예제2]에 주어진 식은

1. m, n을 모두 문자로 생각하면? (자연수 조건이 있는) 부정방정식

2. m만 문자로 생각하면? 일차방정식

3. n만 문자로 생각하면? 이차방정식

입니다.

그런데 부정방정식, 일차방정식, 이차방정식의 해법이 모두 다르기 때문에 무엇을 문자로 보는지에 따라 풀이가 달라질 것입니다.

 

 (1). m, n을 모두 문자로 생각하면 풀이는 다음과 같습니다.

(2). m만을 문자로 생각하면 일차방정식의 해법에 따라 다음과 같이 풀 수 있습니다.

(3). n만을 문자로 생각하면 이차방정식이므로 풀이는 다음과 같습니다.



[예제2]에서 m, n을 모두 문자로 생각한 [풀이1]이 가장 쉬워 보일 수도 있지만, 2n^2-mn+m=0을 (2n-m+2)(n-1)=-2와 같이 변형하는 것을 어려워하는 학생들이 많습니다. 이와 같은 변형이 생각나지 않는다면 관점을 바꿔야 합니다. 이때, n만 문자로 생각해서 이차방정식을 푸는 것보다는 m만 문자로 생각해서 일차방정식으로 푸는 게 쉬울 가능성이 높겠죠?

"[예제2]와 같은 문제는 이렇게 푸는 거야!"라고 유형화하기보다 "무엇을 문자로 생각해야 하는지"에 대해 고민하는 습관을 기르는 것을 강력하게 권장합니다!

 

3. 한 문제 더 살펴볼까요?



 위 문제에 대한 풀이는 아래와 같습니다.





 이 문제에서의 핵심은 풀이의 "위의 식 (4)에서 무엇을 문자로 볼 것인가?"입니다. 상위권 학생들조차도 손 나가는 데로 풀다가 한 번에 풀리지 않으면 당황하기 쉬운데, (4)에 주어진 식이 t에 대한 이차방정식임을 알아낸다면 무척 쉽게 풀 수 있습니다.

 다항식에 대한 모든 문제를 유형화하는 것은 무척 어렵지만, 다항식에 대한 모든 문제에 대해서 무엇을 문자로 볼 것인지 생각하는 것은 그리 어렵지 않습니다. 그런데 수학 (상), 수학 2에서 다루는 거의 모든 대상이 다항식이므로 "무엇을 문자로 볼 것인지 생각"하는 것은 매우 유용합니다. 그뿐만 아니라, 이 과정에서 내가 무엇을 문자로 생각했는지, 이 경우에 문제가 쉽게 풀리는지, 쉽게 풀리지 않는 경우 다시 무엇을 문자로 생각할지에 대해 고민한다면 논리적 사고 능력과 메타인지 모두 발달할 것입니다.

 

4. "무엇을 문자로 볼 것인지"는 다항식에서만 중요할까요? 아래의 문제에 대해 생각해 봅시다.



 학생들에게 [예제4]를 풀어보라고 하면, 무엇을 문자로 볼 것인지에 대한 고민 없이 f(4)부터 하나씩 구하기 위해 n=4를 대입하는 것으로 풀이를 시작하는 경우가 많습니다. 아마도 "이런 문제는 이렇게 푼다고 유형화"했기 때문이겠죠? 하지만 n부터 생각하면 n=4, 5, ... , 25의 21가지 경우를 생각해야 할 뿐만 아니라, 각각의 경우에 a의 값을 변화시키면 분모와 분자가 모두 변하기 때문에 당황하여 제대로 풀지 못할 가능성이 높습니다.

 반면, 무엇을 문자로 볼 것인지에 대해 고민하는 것으로 풀이를 시작한다면, 아래와 같이 쉽게 해결하는 경우가 많습니다.

 



 문자는 다항식에서만 나오는 것이 아니죠? 지수나 로그, 삼각함수 등에서도 문자를 포함한 식을 찾는 것은 어렵지 않습니다. 문자 없이 상수만 있는 고난도 문제는 거의 없습니다.

 



조금 과장하면, 고난도 문제는 두 가지 유형뿐입니다. (문자가 한 개 이하면서 식도 간단하다면? 당연히 쉬운 문제겠죠?) 

  1. 문자가 여러 개이거나

  2. (문자가 하나지만) 식이 복잡하거나

 

이중, 문자가 여러 개인 경우에 무엇을 문자로 볼지에 따라서 주어진 대상이 속하는 집합이 달라지게 됩니다. 그러면 사용할 수 있는 성질도, 풀이도 달라지겠죠? 문자를 포함하는 모든 문제를 유형화하는 것은 불가능하지만, 문자를 포함한 모든 문제에 대하여 "무엇을 문자로 볼 것인지"에 대한 고민으로 풀이를 시작하는 것은 그리 어렵지 않습니다. 그뿐만 아니라, 이는 매우 강력하고도 유용한 전략입니다. 따라서 문자를 여러 개 포함한 문제가 잘 풀리지 않는다면? "무엇을 문자로 볼 것인지"에 대한 고민으로 풀이를 시작하는 것을 강력하게 권장합니다! 

5. 전자책 "서울대 박사가 알려주는 수학의 비밀 - 첫 번째 비밀 : 집합"에서

[공부법1] 원소인 것과 아닌 것을 구별하는 방법 = 주어진 대상이 어떤 집합에 속하는지, 속하지 않는지 파악하는 방법

을 신경 써서 공부할 것을 강조하였습니다. 본 포스팅은 이것을 다항식에 적용한 예시일 뿐입니다.

 



가령, [예제1]에서

1. x만을 문자로 생각한다면, 주어진 식은 "x에 대한 3차식들의 모임"이라는 집합의 원소가 됩니다.

2. y만을 문자로 생각한다면, 주어진 식은 "y에 대한 2차식들의 모임"이라는 집합의 원소가 됩니다.

3. x, y를 모두 문자로 생각한다면, 주어진 식은 "부정방정식들의 모임"의 원소이자 "x, y에 대한 4차식들의 모임"의 원소가 됩니다.

 

이처럼 "수학의 구조 특강"이나 전자책 "수학의 비밀" 시리즈에서는 문제의 유형별로 테크닉을 알려주는 대신,  모든 단원의 모든 개념과 문제에 적용 가능한 치트키에 대해 알려줍니다.  그리고 저의 수업이나 강의록에서는 '본 포스팅'에서처럼 특강이나 전자책에서 다룬 내용을 각각의 단원에 구체적으로 적용함으로써 학생들이 효과적으로 공부할 수 있도록 돕습니다. 

6. 오늘 포스팅은 전자책 "수학의 비밀"의 미리보기 및 다운로드 링크와 후기로 마치도록 하겠습니다. 다음에 또 만나요 :) 



1). "수학의 비밀 - 첫 번째 비밀 : 집합" : https://docs.orbi.kr/docs/10846

 

2). "수학의 비밀 - 두 번째 비밀 : 명제"의 링크 : https://docs.orbi.kr/docs/10847

3). "거의 모든 고난도 문제에 적용 가능한 치트키 1"의 링크 : https://orbi.kr/00062136893

4) 본 포스팅은 저의 블로그의 "https://blog.naver.com/math-fish/223026068836"를 오르비 양식에 맞게 포스팅한 것입니다.

5). 후기

(후기1)

(후기2)

(후기3)

(후기4)

수학의 비밀을 안 본 사람은 있지만, 한 권만 본 사람은 없습니다. (오르비에서 1권을 보신 분들의 100%가 2권 구매!) 아래는 3권에 대한 요청입니다. 



PS. 그동안은 폐쇄적인 환경에서 소개로만 상담 및 수업을 진행하다가, 더 많은 학생들을 돕고 싶은 마음에 블로그 및 전자책 집필을 시작했습니다. 저의 블로그나 전자책이 도움이 되셨다면 주변에 널리 알려주시고, 덧글이나 후기를 부탁드립니다.  긍정적인 반응은 전자책 집필에도 큰 힘이 됩니다. (현재, 전자책은 3권까지 집필하고 검수 중입니다. 반응이 좋으면 4권~ 8권의 집필 속도를 높이고 차후에 강의록도 개념서로 출간하거나 강의 영상을 업로드 할 것이고, 반응이 없다면 전자책은 수업에서만 사용하고 출간하지 않을 계획입니다.)