짧)기스퍼거의 미적분 20230929 해설#매개변수 미분법
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우리가 미적분 문제를 풀 때, 값을 구체적으로 대입해서 미분계수를 구하는 상황이 주를 이룹니다. 예를 들어서 f'(1)이라던지 말이죠. 하지만, 평가원에선 그런 문항만 출제하진 않습니다. 그 대표적인 예시가 2023학년도 9월 평가원 29번 문제가 되겠죠.
개인적인 평가로는 이 문제는 그저 개념 여러 개를 섞어서 낸, 간단한 문제였습니다. 우선 문제 먼저 보시죠.
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(해설)
먼저 거리 최소 조건이 눈에 밟히실겁니다. 이 조건에서 우리는 반사적으로 수직 조건을 뽑아낼 수 있죠. 곧, 이를 이용해 t를 s에 관한 식으로 나타낼 수 있을겁니다. (이때 이 식은 t를 s에 관한 함수로 볼 수 있음)
h'(1)의 값은 역함수 미분법에 의거하여, g(u)=1이라 할 때 h '(1)=1/g(u)가 성립합니다.
그렇다면 g(u)는 어떻게 구해야 할까요? 여기서 음함수 미분법이 굉장히 강력하게 작용합니다.
g(u)=f(s)=1을 만족하는 s는 0입니다. 그리고 우린 g(t)=f(s)이므로 g(t)는 s에 관한 함수이기도 합니다. 그렇다면 양변을 s에 관하여 미분해도 문제가 없죠. 그렇게 미분한다면?
{g'(t)dt/ds}=f'(s)입니다. 아까 수직 조건에서 얻은 식도 마찬가지로 s에 관하여 미분하면 손쉽게 dt/ds를 구할 수 있습니다. 곧, t=u일 때 s=0이므로 구한 식에 대입하여 구하면, h'(1)=3임을 알 수 있습니다.
(손 풀이 해설)
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아직 개념 공부 중이라 미적분은 어렵네요.. 합성함수의 미분으로 역함수 미분을 연상하는 건 처음 봤는데 빠르고 편할 것 같네요. 좋은 글 감사합니다~~도움이 됐다니 다행입니다.
음함수 관련해서 질문 드릴게 있는데..
세 실근을 갖는 삼차함수도 결국엔 구간을 쪼개어 나타내면 실수 전체의 집합에서 역함수를 가지게 되는거 아닌가요?
각 구간마다는 역함수를 갖지만 합쳐서보면 역함수를 갖지 않아요.
함수의 정의 자체가 정의역 D에서 치역 E의 원소 중 하나씩에만 대응되는 형태죠. 그리고 역함수는 D와 E의 대응만 거꾸로 한 형태고요. 근데 말씀하신대로라면 E의 원소 중 하나가 3개의 실수에 대응하게 되는 꼴이죠. 그러면 함수의 정의 자체에 부합하지 못하고, 역함수가 존재하지 않는다 그러죠.
고1 수학황님께서 잘 설명해주셨는데 조금만 더 부가적으로 설명해봤습니다.