Ulogia [444403] · MS 2013 · 쪽지

2014-11-07 01:07:44
조회수 4,358

a<b일 때 0<af(b)<bf(a)이면 f(x)는 위로 볼록?

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(09년도 대비 9월 평가원 수리 가형 11번입니다. 문제에는 x,y로 조건이 써있는데, a,b로 수정했어요.)


요약

다항함수 f(x), f(0)=0

0<a<b<1인 모든 a,b에 대해 0<af(b)<bf(a)이다.

이때 f''(x)<=0임을 증명.


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조건

다항함수 f(x), f(0)=0

0<a<b<1인 모든 a,b에 대해 0<af(b)<bf(a)이다.


보기생략


일반적인 풀이

0<f(b)/b<f(a)/a이므로 '그려보면' 위로 볼록인 개형이 나온다. 따라서 위로 볼록으로 잘 그려서 삼각형 열심히 만들어서 풀면 됩니다.(보기나 뒤쪽 해설같은건 생략할게요. 논지에서 벗어나니)


물론 저렇게 풀면 답이 잘 나옵니다만, 수식으로만 유도해보고 싶은데 잘 안나오네요.


우선 a<b일 때 f(b)/b<f(a)/a이므로 (0,1)에서 f(x)/x는 감소함수입니다. 즉 (f(x)/x)'<=0이고, h(x)=xf'(x)-f(x)로 놓으면 h(x)<=0입니다.

f(0)=0에서 h(0)=0이므로 h(x)의 그래프는 원점을 지납니다.


이제 h(x)가 (0,1)에서 감소함수임을 보이면 h'(x)=xf''(x)<=0이 되고, x>0이므로 f''(x)<=0, 즉 위로 볼록임을 증명할 수 있습니다. 그런데 이게 진짜 잘 안나오네요. 식조작을 어찌하면 좋을까요.

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