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솔로깡 [330158] · 쪽지

2014-09-23 03:11:08
조회수 7,563

수학이란 무엇인가?

게시글 주소: https://ui.orbi.kr/0004894532

역사적으로 관찰해보면


기

승

전

괴델

그래 일단 불완전하다 치고, 더 생각할건 없나?




.........ㅠ

가령, 괴델의 불완전성에 의하면 어떤 수학적 시스템 안에서 참임을 확신할 수 있는 괴델명제 G가 존재할 때, 이 수학의 시스템으로는 공리/정리/정의를 이용해서 이 괴델명제G를 증명할 수 없도록 하는 G가 반드시 존재한다는 것입니다만

가령 이런 질문을 하실 수 있습니다.

그럼 기존의 시스템 S에, 괴델명제 G를 공리로 하는 S+G를 만들면 되지 않습니까!


그러면 이런 대답이 나옵니다.

S+G를 시스템으로 받아들이면, 또 다른 괴델명제 G2가 나옵니다!



그럼 G2도 포함해서 S+G+G2를 만들죠!

네 그럼 G3가 나옵니다. 끝이 없습니다.



그리고 무한반복됩니다.

이 Gn이 항상 존재한다는게 이미 논리적으로 증명되어있으므로

'모든 수학적인 진리를 증명하는 수학적 시스템은 존재하지 않는다'는 사실이 밝혀졌다!




그리고 들려오는 힐베르트의 멘붕소리.

괴델이 저 내용을 발표하고 수학적으로 옳은 이야기임을 밝혀냈을 때, 힐베르트는 몇일간 상당히 주위 사람들에게 화를 냈다고 합니다.

그도 그럴것이, 힐베르트가 상당히 야심차게 준비한 [완벽한 수학적 시스템의 구축 프로젝트]가 결국 부질없다는걸 괴델이 증명해버렸으니까요.



참고로, 수학에서 절대적으로 참인 진리와 이를 증명하는 것은 별개의 일이라는 것을 미리 숙지하시는 것이 좋습니다. 절대적으로 참이지만, 증명불가능한 것이 있을 수도 있으며

수학을 조금 더 깊게 공부하면 아시겠지만 [이 논제가 증명불가능하다는 것을 증명]할 수도 있고,

가우스 교수가 예전 자신의 학생에게 [교수님은 왜 페르마의 마지막정리를 증명하지 않으세요? 실력이 안되시나요?] 하고 비꼼을 받자, [난 시간이 많이 없다. 바쁘다. 다만, 그 정리가 "수학적으로 증명할 수 있는 정리라는 것을 증명해오면" 내가 페르마의 마지막 정리 를 증명해보마]라고 대답했다는 사실이 알려져 있습니다.


물론, 원래 화두로 들어가서

이 글에 대한 대답은 "저도 모릅니다." (...)





p.s. 수학은 위험한 학문입니다. 칸토어처럼 집합론을 창시한 위대한 수학자를 쏟아지는 반론으로 정신적으로 아프게 만들 수 있습니다. 위기탈출 넘버원에 소개되어야 할 만큼 잔인하고 치명적입니다. 사실, 역사적으로 보면 수학 연구하다 미쳐버리거나, 정신병에 걸리거나, 극단적인 자살이라는 방법을 택한 사람들이 종종 있습니다.

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솔로깡 [330158]

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