수학 질문.. 미분 가능성과 연속에 대하여(수학 고수님들 도와주세요)
게시글 주소: https://ui.orbi.kr/0004698222
f(x)=x^2sin1/x (x가 0이 아닐 때)
=0 (x=0)
에서 f`(x)의 x=0에서의 연속성을 알아보고자 합니다.
먼저 정의를 사용했을 때 limx->0 {f(x)-f(0)}/(x-0) = 0 입니다.
f`(x)=2xsin1/x - cos1/x 가 됩니다. limx->0 f`(x) 는 존재하지 않습니다. 진동하기 때문이죠.
따라서 f`(x)는 x=0에서 불연속입니다.
여기까지는 이해가 갑니다.
그런데 제가 궁금한 점은
limx->0 {f(x)-f(0)}/(x-0) = 0 을 구할 때 좌변의 식은 사실
1. limx->+0 {f(x)-f(0)}/(x-0), 2. limx->-0 {f(x)-f(0)}/(x-0) 을 합친 것으로 알고 있습니다.
1.식은 사실 fx의 우미분계수 이고, 마찬가지로 2.식은 fx의 좌미분계수 아닙니까?
따라서 위 내용은 x=0에서의 좌우미분계수가 같다고 해석했습니다.
그런데 f(x)=f1(x) (x가 p이상일 때) (p는 상수입니다.)
=f2(x) (x<p)
라고 하고 fx가 x=p에서 미분 가능하다고 하면
f1(p)=f2(p) , f`1(p)=f`2(p)를 만족해야 합니다.
그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 f`(0)에서 미분 가능합니다.
그런데 사실상 f`1(0)은 x=0에서의 우미분계수, f`2(0)=0은 좌미분계수 이므로 두개가 서로 같다면
limx->0 f`(x)= f`(0) 이란 뜻 아닙니까? (f`(0)가 미분 가능하므로)그렇다면 f`(x)는 x=0에서 연속 이라고
생각되는데
네. 사실 f`(x)는 x=0에서 불연속입니다. 논리적으로 어디서 틀렸는지 모르겠습니다.
고수님들 알려주세요 ㅠㅠ(진짜 막써서 무슨 내용인지 못 알아보실수도 있음..)
--------------------------------------------------
즉, limx->+0 f1(x)-f1(0)/x-0 = f`1(0)
limx->-0 f2(x)-f2(0)/x-0 = f`2(0)
f`(0)= limx->0 fx - f0/x-0 = f`1(0)=f`2(0) (f`(0)을 구하는 정의에서 f`(0)의 좌미분계수와 우미분계수가
같아야 한다는 뜻.=>좌미분 계수와 우미분 계수가 같다면 limx->0 f`(x)가 존재하고 이 값이
f`(0)과 같아야함. 고로 f`(x)는 x=0에서 연속이라고 생각함 =>그런데 아님.. 뭐가 문제인가요?)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
뽑는 인원보다 최저맞춘 인원이 적으면 그냥 다 뽑히는건가요?
-
입시판 특징 0
과탐 고정1 아닌데 사탐런 안한 원장연들 ㅉㅉ (구 과탐 66, 현 사탐 34)...
-
이시간까지 기다린 의미가 없네..ㅜㅜ
-
영어 9모 3->1, 지구 노베->2 뭐가 더 가능성 있음?? 0
9모 영어 4뜨긴 했는데 68점이고 6모때 3이었음. 근데 내가 4뜰땐 그냥 찍은게...
-
에 대해서 어떻게 생각하시나요 준3때 이미 돈 멏십내고 adhd 검사 등 햇다가...
-
수능때꼭받아올것이다 다시정신차리자더이상은안된다
-
책 판매하고 싶은데 어디 사이트 이용하는게 좋나요
-
정확한가요? 헛된 희망을 주는거 같아서..
-
드릴 종류? 질문 10
드릴 12345 이랑 워크북있는 거로 아는데 시간이 되면 6개 다 푸는 게 좋나요?...
-
국어 2
푸는데 시간이 많이 걸리고 현역때부터 교육청은 2~3 평가원은 3~4 나왔어요......
-
영어 0
고2 9모 듣기 다 맞고 74점 나왔는데 조정식 괜찮아 문장편 하고있습니다 절반...
-
그러게요...ㅎㅆㅅㅅㅂ
-
대학 미련 6
외대 다니고 있는 학생인데여.. 이화여대가 자꾸 마음에 걸려요..ㅠㅠ 이대 너무...
-
올해 9평 풀고도 1번이 이상하다는걸 전혀 몰랐는데 특수오일이 사람이 만든거니...
-
메가패스 있습니다 최대한 컴팩트한걸로요···..
-
문학은 유네스코 하고 있어서 독서만 따로 있는거 사려는데 뭐가 좋음?
-
둘 다 안 풀어봤는데 머부터 풀면 좋음? 둘다 적당히 풀 실력은 되는 듯 드릴5...
-
똥 4
똥
-
대성패스있으신분 0
솔텍 파트1 16강 14분 50초부터 봐보셈 춘식쌤이 윤도영쌤 성대모사함ㅋㅋㅋ 진짜...
-
성적 올릴 수 있을듯
-
반수 포기함 1
현역 -> 폭사 재수 -> 중앙대 공대 무휴삼반수 하려고 했는데 힘이 너무 딸린다 입시 여기까지..
-
일요일날 집에 빨리와서 쉰게 맘에 안드신듯.. 스카에서 자고 바로 학원 갈려구요
-
레어를 뺐겼더니 3
덕코가 늘어났어요!
-
경희대 학추 받았는데 그냥 르네상스가 확률 더 높아보이는데 그냥 학추 전형 안써도 되나요?
-
하 ㅈ같네 10시에 자는게 목표였는데
-
수험생 특성 상 증원됐다고 그만큼 용기내서 지원하기보다 전년도 입결을 고려하여...
-
영어 9모 3->1, 지구 노베->2 뭐가 더 가능성 있음?? 2
9모 영어 4뜨긴 했는데 68점이고 6모때 3이었음. 근데 내가 4뜰땐 그냥 찍은게...
-
레어화긴 5
광역시수집가
-
내년에는 2호선 타고 꼭 통학한다.
-
수시 교과 써보려고 했는데 쓸만한 곳이 없네 에잉
-
두달에 한번쯤 교재 언박싱이나 모고 채점영상같은거 무편집으로 올려볼까하는데 개꼴값일까요?
-
아무리 봐도 이해가 안가는데 이런식이면 ㄹㅇ 전염병 환자는 의사에게 '치료' 를...
-
지금 들을까 말까 좀 고민되는데 난이도라고 해야하나 어느정도 수준으로 진행되는지 궁금합니다
-
다음날 일어나야하는거 아는데 진짜 밤만되면 못참고 뭐 먹어버리고 후회하고의 반복임.. 너무한심한데
-
후후
-
물리-에너지 파트랑 역학 일부 고난도 빼고는 거의 다 품 생명-돌연변이 아직 못...
-
하 또 ㅈㄹ하네 0
하 하루에 몇번을 쪼는거냐 ㅅㅂ ㅋㅋㅋㅋㅋ 아 그냥 고대 학추 안정 쓸걸 그랬나...
-
진짜 화이팅
-
고2 수2 기출 3
고난도 자이 자연계로 수2 시험범위까지 기출 풀려하는데 뭔가 애매한거 같은 느낌이...
-
너무 얼마 안 남았지만 대학교 다니고 있는 상황이라... 뒤늦게 시작해볼까...
-
댓글써주실수 있삼? .이여도 괜찮아..
-
좌표 다잡아놓고 못푼 사람을 뭐라고함? 저능아라는 나쁜말은 ㄴㄴㄴㄴㄴ
-
화학2 진짜 이새끼 요즘 좀 쉽게 나와서 그렇지 서울대 필수시절 20번이나 작수...
-
지방일반고문과 ㅈㅈ하게 수시카드 좀 제대로 봐주실 수 있을까요ㅠㅠ
-
군대가기전에 밥 사주려고 했는데 시간 안 된다고 오늘 만났는데 10만원 주심 형...
-
어그로 ㅈㅅ 그냥 김유연 학벌 글 보고 적어봄 김유연 학벌 빨리는게 의문이라면 걍...
-
막 경쟁률 뜨는건 뭐고 그거 뜨는거 보고 해야 유리하나요? 수리논술이영
-
뭔가 교재는 강민철t 강e분이 더 취향이라… 이 교재로 김승리t kbs 등어도 ㄱㅊ을가용
-
와.. 다시 보니 알겠다 왜 명작이라 하는지 영알못(영화알못이라는뜻ㅎ)인 나한테도...
제시하신 식은 도함수가 불연속이지만 미분계수가 존재하는 경우를 예로 들 때 자주 등장하는 식이네요.
말씀하신 부분 중
그런데 f(x)=f1(x) (x가 p이상일 때) (p는 상수입니다.)
=f2(x) (x
감사합니다
본문에서 잘못된 점.
1. [그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 f`(0)에서 미분 가능합니다.] ㅡ> [그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 x=0에서 미분 가능합니다.]
2. [좌미분 계수와 우미분 계수가 같다면 limx->0 f`(x)가 존재하고 이 값이 f`(0)과 같아야함.] ㅡ> 같아야 할 이유가 없습니다.
3. 좌미분계수와 우미분계수의 값이 동일하다고 하여, 해당 점에서 도함수의 연속이 보장되지 않습니다. 연속일 조건은 좌극한, 우극한의 값이 동일하고 그 극한값이 실제 그 점에서의 f(x)의 값과 동일해야 합니다. 좌극한 우극한만 같다고 해서 반드시 연속인 것은 아닙니다.
4. 제시해주신 상황에서 잘 이해가 가지 않는다면 이 글에 제시된 함수를 사례로 이해를 시도해보시기 바랍니다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_function
그냥 지나쳐갈수도 있었을 의문에 대해서 답을 알고자 하는 자세가 매우 훌륭하다고 생각합니다. 부디 그 자세 잃지 않으셨으면 좋겠습니다.
감사합니다.
1.번은 잘못된 점을 알았습니다.
그런데 2번에서 limx->+0 f(x)-f(0)/x-0 을 우미분계수로 보면 안된다는 것인가요?
3.즉 limx->+0f`(x) 가 우미분계수가 아니라는 말씀이시죠?
우미분계수와 좌미분계수는 상관없습니다. 둘 다 맞아요.
도함수의 연속성이 궁금한거잖아요?
그럼 다음 요건을 봐야합니다.
1. 도함수의 좌극한과 우극한이 같다 ㅡ> 본문에서 확인하셨습니다.
2. 이 좌극한=우극한 의 값이, 실제 그 점에서의 도함수 값과 같다 ㅡ> 실제 그 점에서 도함수 값이 정의되지 않으므로 같다고 할 수 없습니다.
이 2번 과정을 빠트리고, 1번 과정으로만 연속성을 판단하셨기에 생긴 오류입니다.
ㅋㅋ... 이해된줄 알았는데 한 번만 더 여쭤볼게요..
무슨 말씀 하시는지는 이해가 갔습니다.
근데 제가 이해가 잘 안가서..ㅠㅠ
그런데 말씀하시는 좌극한=우극한 값이 같다는것이 실제 그점에서의 도함수 값과 같다는것 아닌가요?
왜냐하면,
limx->0 fx-f0/x-0 가 정의되기 때문이라고 생각합니다.
즉, 이 값이 정의된다는 뜻은 좌극한, 우극한이 같고 그 값이
존재한다는 뜻이니까요. 또한, 이 좌극한, 우극한이 으므로
f`(0)이 존재한다는 뜻 아닌가요? 고로
f'(0) = limx->+0 fx-f0/x-0 = limx->-0 fx-f0/x-0
아닌가요?
정말 감사합니다..!!
[즉, 이 값이 정의된다는 뜻은 좌극한, 우극한이 같고 그 값이 존재한다는 뜻이니까요.] ㅡ> 오개념입니다. 좌극한, 우극한이 존재하는 것과 그 점에서의 함숫값이 존재하는 것은 전혀 상관이 없습니다.
좌극한, 우극한은 존재하지만, 그 점에서의 함숫값이 존재하지 않거나 좌,우극한 값과 다르다면 해당 함수는 그 점에서 불연속입니다.
2013학년도 9월 평가원 가형 6번문제를 보시면 해당 함수의 예시가 나와있습니다. 좌극한, 우극한은 같고, 존재하지만 그 점에서의 함숫값이 좌극한, 우극한 값과 다릅니다.
즉, "잘 가다가, 어느 한 점에서 구멍이 나 있는 함수"의 개형을 생각해 보십시오. 좌극한, 우극한 값이 동일하지만, 그 점에서 함숫값은 정의되지 않습니다.
제 말 뜻은 함숫값이 존재한다는 것이 아니라 극한값이 존재한다는 것입니다.
미분계수의 정의가 평균변화율의 '극한값'인 것 처럼요
극한값(미분계수)이 존재하므로 그 좌미분계수와 우미분계수의 값이 같다는 것이었는데.. 제가 어디를 잘못보고있는것인지요
ㅠㅠ
연속일 조건
1. 좌극한, 우극한의 값이 존재한다.
2. 이 좌극한=우극한의 값과, 해당 점에서 함숫값이 동일하다.
미분가능일 조건
1. 연속이다
2. 좌미분계수와 우미분계수가 동일하다.
좌미분계수와 우미분계수가 존재하고 서로 같다고 하여 그 지점에서 미분가능한것도 아니고, "도함수의 연속성"이 판정되는 것도 아닙니다.
연속과 미분가능하다는 것은 서로 다른거예요.
사실 지금 님께서 뭐가 궁금한건지 파악을 못하고 있어요.
차라리 종이에 적어주셔서 다시 게시물 올려주시면 뭐가 궁금한건지 잘 알수 있을 것 같은데요.
[극한값(미분계수)이 존재하므로 그 좌미분계수와 우미분계수의 값이 같다는 것이었는데] ㅡ> 이 부분이 잘못된거예요.
도함수의 불연속을 따지려면, 도함수 자체의 좌극한, 우극한을 생각해야겠죠. 도함수 자체의 함숫값과 도함수 자체의 우극한, 좌극한이 같은 값을 가지는가? 이게 관건입니다.
원 함수의 좌극한, 좌미분계수, 우극한, 우미분계수는 '도함수의 연속'과는 전혀 관련이 없어요.
음.. 도함슈의 우극한과 우미분계수가 다른가가 의문이었습니다. 사진 찍은게 있는데 지금 못올려서 아쉽네요 감사합니다
밤에 집가서 올려보겠슴다!
미분 가능 하다는것과 도함수가 연속하는건 아무 상관없는 서로 다른 개념이에요
넵..그런데 그것이 수식으로 이해가 가지 않아 사진찍어올려보려구요
모르비 사진첨부기능 미아..