[박수칠] 역함수의 미분법 이해하기
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수학영역 A형에 비해 B형에서는 다양한 미분법/적분법을 배우게 됩니다.
그 중에 살~짝 어렵고 헷갈리는 것이 '역함수의 미분법'인데요,
이 글을 통해 간단명료하게 설명해드리겠습니다.
1.일단 역함수의 미분법은
(1) x=f(y) 꼴의 함수를 미분하기 위한 것입니다.
(2) 그래서 역함수의 도함수를 구하는데 이용되죠.
2.역함수의 미분법에 관련된 공식은 다음 두 가지가 있습니다.
각각의 증명은 다음과 같습니다.
(1) 
의 증명
(2)
의 증명
3.그럼 공식 2-(1)을 이용해서 도함수를 계산해봅시다.
(1) 주어진 함수를 x=f(y)의 꼴로 표현하기 위해 양변을 n제곱합니다.
(2) 양변을 y에 대해 미분합니다.
(3) 
를 이용하기 위해 양변을 역수로 바꿉니다.
(4) 따라서 주어진 함수의 도함수는 다음과 같습니다.
(1) 역함수를 구하기 위해 x, y의 위치를 바꿉니다.
y=f(x) 꼴로 정리하지 않아도 위 식은 이미 역함수입니다.
(2) 양변을 y에 대해 미분합니다.
(3) 를 이용하기 위해 양변을 역수로 바꿉니다.
이 식이 바로 역함수의 도함수입니다.
역함수 를 y=f(x)의 꼴로 표현하기 어렵기 때문에
위의 도함수를 굳이 x에 대한 식으로 나타낼 필요는 없습니다. 또한
역함수의 그래프 위의 점 (3, 1)에서의 미분계수를 구하고 싶으면
이 도함수에 y=1을 대입하면 됩니다.
4.의 의미
앞에서도 언급했다시피 함수 y=f(x)와 그 역함수가 y=g(x)가 모두 미분가능하면
이 성립합니다. 이 식에서 (x, y)는 역함수 y=g(x) 위의 점을 의미합니다.
만일 점 (a, b)가 역함수 y=g(x) 위의 한 점이라면 다음의 식이 성립하겠죠.
이때, g'(a)는 역함수 y=g(x) 위의 점 (a, b)에서의 접선 기울기,
f'(b)는 함수 y=f(x) 위의 점 (b, a)에서의 접선 기울기를 의미합니다.
따라서 위 식은 두 접선의 기울기가 서로 역수관계임을 의미하겠네요.
그럼 문제 하나 풀어봅시다.
이 문제는 2010학년도 9월 모평 가형 27번 문제입니다.
f'(a)와 g'(a)를 구하는 문제인데, 역함수의 도함수는 구할 필요가 없고
다음과 같이 를 이용해서 역함수의 미분계수만 구하면 됩니다.
(1) f'(a)의 계산
함수 f(x)의 도함수 
으로부터 
(2) g'(a)의 계산
g(a)=b라 하면 로부터 
(3) 답 계산
g(a)=b로부터 f(b)=a이므로
이다. 이를 이용하면
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라이프니츠 미분법의 장점이죠ㅋㅋdy/dx를 분수꼴(?)로 생각할 수 있다는!
그렇죠! 합성함수의 미분법(연쇄법칙), 매개변수로 표현된 함수의 미분법, 매개변수로 표현된 함수의 이계도함수, 더 나아가면 치환적분도 분수로 간주할 수 있구요~ ^^
감사히잘보고갑니다
감사합니다~~^^
명쾌합니다!!!
Dy/dx를 어떻게 읽죠? 디엑스분의 디와이거 아니라던데여
그냥 디와이디엑스 라고 읽으시면됩니당~