[박수칠] 수학 영역 문제 푸는 시간 줄이기
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6월 모평이 4주 앞으로 다가왔습니다.
‘평가원 주관’, ‘현역부터 n수생까지 응시’ 이 두 가지만 봐도 중요하고, 긴장되는 시험이죠.
그 동안 쌓은 실력을 100% 발휘하면 좋겠지만,
채점 후 자신의 점수에 만족하는 학생보다 그렇지 못한 학생들이 더 많기 마련입니다.
또한 자신의 점수에 만족하지 못했다면 문제점을 파악해서 고치려는 노력을 해야되구요.
그런데 점수에 만족하지 못한 학생들 중에는 “시험 시간이 부족했다.”는 경우가 많습니다.
처음부터 끝까지 모든 문제를 다 풀려는데 시간이 부족할 수도 있고,
어려운 문제는 건너뛰면서 푸는데도 시간이 부족할 수도 있겠죠.
이 문제를 해결하려면 문제 푸는 시간을 줄여야 하는데…
어떻게 해야 줄일 수 있을까요?
방법은 하나 뿐입니다.
본인의 실력을 끌어올리는 것 밖에 없죠...
100분 안에 30문제를 모두 풀려면
기본 개념-기본/응용 유형-기출 문제-변형 문제를 차근차근 익히고 다진 후에
모의고사를 풀면서 실전 감각을 익혀야 합니다.
수능 준비는 이 과정을 가능한한 많이 반복하는 것이라 할 수 있구요.
수학적인 감, 소위 직관이 뛰어난 소수의 학생들을 제외하면
위 과정을 통해 자신의 머리가 왠만한 문제들에 ‘익숙해진’ 상태로 만들어야
문제 푸는 시간을 줄일 수 있습니다.
변별력 있는 문제들 또한 마찬가집니다.
난이도가 올라갈수록 고난도 기출과 그 변형 문제들을
얼마나 다양하고 충실하게 공부했는지가 관건이죠.
여기에 더해서 평소 문제를 풀 때 다음에 신경을 써준다면
문제 푸는 시간을 조금이라도 줄일 수 있을 것입니다.
1.단순 반복적인 계산 과정 줄이기
결과가 예상되는 식들은 굳이 중간 과정을 거칠 필요가 없겠죠?
기본/응용 유형의 문제들을 풀면서 수없이 계산했던 과정들을 떠올리면
중간 과정을 생략하고 결과로 바로 넘어갈 수 있는 것들이 있습니다.
수학1-여러 가지 수열에서 수열의 합-소거형 문제를 예로 들어 봅시다.
<예1> 
의 계산
위와 같이 일반항이 수열 
의 제k항과 제k+1항의 차로 표현되므로
시그마를 풀어쓰고 같은 항들을 소거했을 때, 맨 앞과 맨 뒤에서 항이 하나씩 남음을
예상할 수 있습니다. 따라서 다음과 같이 간단해지죠.
<예2> 
의 계산
이때는 부분분수로 변형한 후의 일반항이 수열 의 k항과 k+2항의 차로 표현되므로
시그마를 풀어쓰고 같은 항들을 소거했을 때, 맨 앞의 두 항과 맨 뒤에서 항이 두 개씩
남음을 예상할 수 있습니다.
2.그래프 개형 그리는 시간 줄이기
B형의 미분법 단원에서는 다항함수 뿐만 아니라 유리함수, 무리함수, 지수함수,
로그함수, 삼각함수 등 다양한 함수의 그래프를 다룹니다. 그런데 이 함수들의
그래프 개형을 그리기 위해 이계도함수까지 조사하려니 참 복잡하죠.
그런데 함수 f(x)가 여러 함수들의 곱으로 이루어져 있다면 의외로 간단하게
그래프 개형을 그릴 수도 있습니다. f'(x), f"(x)를 계산하지 가지 않고,
x절편과 f(x)의 부호, 점근선만 이용해서요.
(물론 극점의 좌표를 알기 위해서는 f'(x)의 계산이 필요합니다.)
다음의 예를 봅시다.
위 문제는 지난 4월 학평 B형 30번입니다.
먼저 함수 f(x)의 극댓값을 구한 다음, 방정식 
의 실근 개수를
세야하는데 함수 f(x)의 그래프 개형이 필요합니다. 이때, x절편과 f(x)의 부호,
점근선만으로 그래프를 그리면 다음과 같습니다.
(1) 먼저 함수의 특성과 x절편, 점근선을 조사하고
(2) x절편과 f(x)의 부호, 그래프가 점근선에 다가가는 모양을 표시한 다음
(3) 부드럽게 이어주고
(4) 원점에 대해 대칭이동시키면 f(x)의 그래프 개형이 그려집니다.
물론 극댓값의 파악을 위해서는 방정식 f'(x)=0의 근을 조사해야 합니다.
예를 하나 더 볼까요?
<예4> 
위 문제는 2014학년도 수능 B형 30번 문제입니다.
먼저 조건 (가), (나)를 이용해서 풀면 다음과 같습니다.
이제 함수 
의 그래프를 그려야 하는데
x절편, y의 부호, 점근선을 이용하면 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
푸는 방법에 따라서는 함수 
의 그래프를 이용할 수도 있는데,
마찬가지 방법으로 그래프를 그리면 문제 푸는데 걸리는 시간을 줄일 수 있습니다.
3.문제별로 최적화된 방법 익히기
문제에 따라 일반적으로 적용할 수 있는 방법보다 더 빠르고, 더 최적화된 방법이
있을 수 있습니다. 물론 적용할 수 있는 조건의 범위가 좁기 때문에
일반적인 방법도 꼭 같이 공부해야죠.
이 문제는 2013학년도 9월 모평 A형 28번 문제입니다.
가장 먼저 할 일은 수열의 일반항을 구하는 것인데,
일반적으로 많이 쓰는 
의 관계를 이용하는 것보다
조금 더 간단한 방법이 있습니다.
등차수열의 합 Sn이 n에 대한 2차식이면서 상수항이 0이라는 특징이 있듯이,
등비수열의 합 Sn은 
꼴이면서 A+B=0이 된다는 특징이 있습니다.
이를 이용하면 일반항을 다음과 같이 구할 수 있죠.
위 문제는 2013학년도 9월 모평 A형 15번 문제입니다.
이 문제를 풀 때 조건 (나)의 적용을 위해 두 점 An, Bn의 좌표를 구한 다음
두 점 사이의 거리를 이용하면 계산이 조금 복잡해집니다.
이럴 때는 다음과 같이 두 개의 직각삼각형을 만들고 닮음을 이용해서
문제를 해결할 수 있죠.
위 문제는 EBS 수능특강 미적분과 통계 기본 39페이지 3번 문제입니다.
먼저 g(x)가 x의 범위에 따라 정의가 다르다는 점에 주목하면 다음과 같이 풀 수 있습니다.
그런데 
일 때 g(x)가 
로 정의되는데 이것은
함수 f(x)를 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 평행이동시킨 것과 같습니다.
여기에 주목하면 다음과 같이 풀 수도 있죠.
방정식 f'(x)=f'(3)을 풀면 x=-2, 3이므로
점 (-2, -3)에서의 접선이 점 (3, -8)에서의 접선과 평행합니다.
따라서 점 (-2, -3)에서 f(x)의 그래프를 끊고,
그 오른쪽 부분(하늘색)을 x축으로 5만큼, y축으로 -5만큼 평행이동시킨 다음,
x<3일 때의 f(x) 그래프와 이어주면 x=3에서 미분가능한 g(x)의 그래프가 됩니다.
그러므로 a=5, b=-5, a+b=0이 되죠.
(쓰고 보니 두 번째 풀이가 긴데... 어쨌든 계산 부분은 더 적습니다. ^^;)
~에서 최적화된 방법을 알아봤는데...
다른 문제에서는 최적화된 방법을 어떻게 알아낼 수 있을까요?
수능/모평/학평의 문제라면 잠깐의 검색으로 유명 강사들의 해설 강의를 찾을 수 있구요,
기본서/문제집이라면 풀이집을 이용할 수 있습니다.
물론 수학 잘하는 친구나 선생님께 물어볼 수도 있구요.
때로는 새롭게 배운 확장/응용 개념이나 문제 접근법을
이미 공부했던 문제에 적용해서 알아낼 수도 있습니다.
중요한 것은 내가 스스로 풀 수 있었던 문제라 할지라도
뭔가 삥~ 돌아서 푼듯한 느낌이 있으면, 더 좋은 방법을 찾아보려는 자세입니다.
4.문제 푸는 순서 정하기
상위권 학생들은 문제를 봤을 때 바로 풀 수 있는 문제인지, 생각을 좀 해야하는 문제인지
비교적 빨리 판단할 수 있습니다. 그래서 문제를 풀다 좀 어렵다 싶으면 체크해두고 바로
다음 문제로 넘어가고 나중에 다시 풀게되죠.
그런데 중위권 학생들의 경우에는 앞쪽에서 어려운 문제들에 발목잡혀서
쉬운 주관식 유형들을 놓치는 경우가 있습니다.
이런 경우에는 문제 푸는 시간을 줄이는 것 뿐만 아니라,
문제를 푸는 순서까지도 중요해집니다.
지금까지 풀었던 문제들을 살펴보면 '몇 번에서 막히기 시작하더라~'라는 것을
쉽게 파악할 수 있을 텐데요, 그런 벽을 만나면 일단 22번으로 건너 뛰어서 풀다가
다시 앞으로 돌아오는 것도 괜찮은 방법입니다.
문제 푸는 순서에 대해 너무 복잡하게까지 생각하진 마시구요.
신경 쓸 것이 많아지면, 문제 푸는데 써야할 집중력이 분산되기 마련입니다.
남은 4주 동안 분발하고, 노력하셔서
6월 모평에서 좋은 성적 얻으시길 바랍니다~ ^^
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잘자 3
바이
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개꿀잼메타돌앗나보네
와 정말 좋은글이네요
감사합니다.
앞으로도 계속 도움될만한 글 종종 올리겠습니다~ ^^
와 좋다....
감사감사합니당
Sn = Ar^n + B에서 A + B가 왜 0이 되는지 모르겠는데 설명좀 해주세요 ㅠㅠㅠㅠ
본문에 이유 추가했습니다~ ^^
감사해요~^^
감사합니다
스크랩 감사합니다^^
와진짜 좋은정보감사요
많은 도움 얻고 갑니다!
꿀팁 감사합니다!!! 그런데 점근선을 로피탈로도 할 수 있다는걸 지금 알았네요 항상 햇갈렸는데 감사합니다!!!!
감사합니다ㅠ다시 보러오게 글 지우지 말아주세요.
절대로 안지울께요~ ^^
선생님.. 저는 수학문제 풀면서 손으로는 문제를 풀지만 머릿속에서는 동시에 잡념을 멀티테스킹하는 문제가 있습니다..그래서 시간이 부족하고 실수를 많이해요..시간압박을 하고 빨리 풀려고 해도 머릿속에서는 tv내용이라던가 예전에 겪었던 일이라던가 이런게 자동으로 재생이 됩니다..손은 문제를 풀고있지만..
정신과상담,심리상담을 받아봤는데도 딱히 해결이 안되네요..어떻게 하면 좋을까요??
제 경험으로 보면 싫은 것 억지로 할 때
choi님처럼 집중을 못하고, 잡념이 많았던 것 같습니다.
그런데 공부에 대한 절실함이 그 잡념을 쫓아줬죠.
돌이켜보면 고등학교 시절 저의 공부에 대한 의지는
절실함+자존심에서 나온 것 같습니다.
반에서 3, 4등 정도의 성적으로 입학했는데
1학년 1학기 기말고사에서 처음으로 전교 등수 3자리 찍고
좌절 많이 했거든요. 성적표 받은 날 정말 하늘이 노~랬습니다.
이후 남들 공부할 때 하고,
남들 안할 때도 공부하면서 열심히 노력했습니다.
잡생각 할 틈이 없었구요.
이후 성적이 계속 올라줬고,
그 때부터는 오른 성적 유지해야 한다는 자존심으로
쭉 공부했습니다.
그러다 고3 때 한 번 더 된서리 맞았죠.
수능 전전 모의고사에서 평소보다 20점이나 떨어졌었거든요.
그 때 또 한 번 노~란 하늘을 봤습니다.
(친구들 성적도 그만큼 떨어져서 그나마 회복이 빨랐네요.)
choi님은 아직 절실함이 부족하신 것 같습니다.
공부 외적인 것에 관심을 끊고, 공부에만 집중하세요.
휴식하기 위해 TV를 본다? 게임을 한다?
이런건 핑곕니다. 거기 또 빠져요.
집중이 잘 안되면 공부하는 과목을 잠시 바꾸든가,
기본서 또는 쉬운 교재를 잠시 봐준다든가 하는 방법으로
공부라는 테두리 안에서 해결하도록 노력하시구요.
어떻게 해야 이 상태를 벗어날지
내 상태를 잘 알지 못하는 남들에게 물어보기 보단
'내'가 문제니까 '나'를 어떻게든 통제해야 됩니다.
감사합니다
그런데 그절실함이라는게..어떻게 생기는건가요..전 독학사수생인데도 독하게 마음먹어도 그때뿐이지 사람이 잘변하지가않더라구요..스트레스 엄청받고 몇번씩 다짐해도 독해지는 않고 흔들리게 되요(그렇다고 티비나 게임에 빠진건아니구요 잘 몰입을 못하고 잡념이든다는겁니다..)
글쎄요... 사람마다 환경이 다르고, 그 환경에서 느끼는 바도 다르니 '어떻게 하면 절실함이 생긴다'라고 말하기가 어렵죠.
누구는 가정 형편이 좋지 않아서 절실함이 생길 수 있고, 누구는 잘나가는 집안에서 눈칫밥 먹고 싶지 않아서 절실함이 생길 수도 있구요.
제 경우는 넉넉하지 않은 형편에 잘 할 수 있는 것이 공부 뿐이었으니 여기에 모든 걸 다 걸었죠. 또한 특별반에 못들어갔을 때는 특별반에 가고 싶다는 욕심이, 들어간 뒤에는 고정 멤버가 되겠다는 욕심이, 고정 멤버가 된 뒤에는 누구보다 잘하고 싶다는 욕심이 계속 저를 이끌어줬구요. 게다가 모두들 눈에 쌍심지를 켜고 공부하니 딴 생각할 겨를이 없었습니다.
choi님은 사수면 시간이 부족하고, 다급해야 하는 것이 정상일 것 같은데...
의지가 많이 부족한 것 같네요.
열공하는 분들이 많은, 분위기 좋은 도서관/독서실을 찾아보심은 어떨까요?
아니면 주변 사람들에게 상황 얘기하고 쓴 소리 좀 들으시던지요. ^^
박수칠만한 공략법이네요
감사합니다~ ^^