치환적분 질문있어요~
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f'(x)g(f(x)) 처럼 도함수*원시함수의 합성함수 를 치환적분 할 때는
적분 구간내에서 f(x)가 1:1함수 여야만 하는거죠?
하나의 치역이 두개의 정의역을 가지면 f(x)를 정의역으로 치환했을때 적분구간이 겹치니까 그런건가요?
검색해보다가 의견이 분분해서 직접묻습니다..
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아 1:1함수랑 관계있는 것 같네요. sinxcosx를 0~파이/2 0~3파이/4 0~3파이/2 를 해보면 전 젤 첨에 음양만 바뀌지 않으면 된다고 생각했는데 해보니 1:1함수여야 되더군요.
주어진 (닫힌) 구간에서 f' 이 연속이고, f의 치역 위에서 g의 적분이 잘 정의되기만 하면 됩니다. 그 외 제한 조건은 없습니다.
저도 처음에 그렇게 생각했는데 제 댓글에서 2,3번 째 것 해보시면 치환적분한 것이랑 그냥 계산한 것이 다르게 나오더라고요 그래서 1/1대응 되야할듯요
댓글에서 제시하신 적분 3가지는 어떻게 계산하든 답이 항상 1/2, 1/4, 1/2 입니다.
정적분의 치환적분은 미적분학의 기본정리로 간단히 증명할 수 있습니다. 그리고 그 증명 과정에 치환하는 변수와 치환된 변수가 일대일 (대응)이란 조건은 전혀 필요하지 않아요.
아 제가 어이없는 계산 실수를 해버렸네요. 네 독수리5형제님분 말이 맞는 것 같습니다.