2012학년도 수능 수리가형 21번문제 풀이 좀 깔끔한거 없나요?

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메가스터디에서 기출 풀이해주는거랑 입시플라이기출문제집풀이나 인터넷 돌아다니는 풀이

전부다 yz평면이랑 삼각형ABC포함하는평면이랑 x-2y+2z=1평면, 이 세 평면이 공통의 교선을 가진다고 가정하고(또는 각각 평면이 만나는 교선3개가 평행하다고 가정하고) 풀어놨던데 어떻게 이것을 아무런 의심없이 가정하고 풀어놨는지 이해할 수가 없네요

물론 삼각형ABC의 평면 x-2y+2z=1위로의 정사영의 넓이가 최대가 될때는 저 세 평면이 공통의 교선을 가질 거(또는 각각 평면이 만나는 교선3개가 평행할 거)라는 것이 직관적으로 생각 가능하지만,

수식적으로 증명하지 않는 한 수능 시험장 가서 그것을 가정하고 풀 수 없을 듯 합니다.

작년에 저거 풀때 엄청나게 고민하다가 마지막에 코시부등식 써서 겨우 풀었었는데요

솔직히 코시부등식도 원래 고등학교 교과과정도 아니고, 이렇게 풀면서도 상당히 찝찝했었습니다.

좀 깔끔한 풀이 없나요?????

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의대교수님 [378033]

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잇힝 · 377447 · 12/10/25 13:06 · MS 2011

전 작년에 저렇게 풀엇는데...

작년에 신승범쌤이 저런유형 나올거같다고 수해에서 강조해주셧슴 ㅇㅅㅇ

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syzy · 418714 · 12/10/25 13:24 · MS 2012

이거 얼마 전에도 어떤 분이 질문 올려서 누군가가 친절하게 대답해준 글이 있어요. 제 의견으로도 법선벡터로 푸는 게 가장 깔끔하고 직관적으로 들어오는 것 같습니다. 문제에 등장하는 면이 3개인데요, 그 중 두 개는 고정되어 있고, ABC 포함하는 면이 유동적이라고 볼 수 있겠지요.
ABC면적은 고정되어 있으니, ABC면과 면x-2y+2z=1 사이의 각도가 최소일 때를 묻는 문제이고요, 따라서 두 면의 법선벡터 사이 각도가 최소면 됩니다.

글로 읽으시면 헷갈릴 수도 있을테니 공간좌표에다가 그리면서 생각해보세요. yz평면의 법선벡터(1,0,0) 그려보시고요, ABC의 법선벡터는 (1,0,0)과 60도 각도를 이루어야 하니, 원점을 시점으로 ABC의 법선벡터를 그려보면 x축을 축으로 하고 원점을 꼭짓점으로 하는 원뿔의 밑면의 원주 위를 빙빙 도는 모양이 될거구요. 이 중 (1,-2,2)라는 법선벡터와 가장 각도가 작아질 때가 언젠지 보면 직관적으로 당연히 세 법선벡터가 한 평면 내에 있는 경우 중(2가지 경우인데, 그 중 하나이겠지요.)에서 일어나게 됩니다. 이 정도면 충분히 직관적이지 않나요..?

따라서 그 최소일 경우의 각도를 t라 하면, t = s-60도 (단, s는 (1,0,0)과 (1,-2,2)가 이루는 예각. cos s = 1/3)
cos t = cos s cos 60 + sin s sin 60 = (1/3) (1/2) + (루트8)/3 (루트3)/2 = (1+2루트6)/6
답은 1+2루트6. 이렇게요.

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의대교수님 · 378033 · 12/10/25 13:46 · MS 2011

오 그러네요.. 감사합니다^^

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나가있어^^ · 362822 · 12/10/25 13:28 · MS 2010

x-2y+2z=1의 법선벡터 v1=(1,2,2)와 yz평면의 법선벡터 e=(1,0,0)은 고정되어 있습니다. 여기에 삼각형 ABC를 포함하는 평면의 법선벡터를 v2벡터라고 하면, 결국 원하는 정사영의 넓이의 최댓값은 v1벡터와 v2벡터가 이루는 각이 최대소일 때가 됩니다. 따라서 e벡터와 v1벡터, v2벡터를 시점을 일치시킨 후 v2벡터를 (v2벡터의 크기는 고정하고 각을 변화시키면 v2벡터는 e벡터를 포함하는 원뿔의 흔적을 남게게 됩니다. (나) 조건 때문에 v2, e벡터의 각은 일정)
따라서 v1벡터, v2벡터가 이루는 각이 최소가 되려면 e벡터와 v1벡터가 포함된 평면에 v2벡터가 놓여 있어야함을 알 수 있겠습니다.

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의대교수님 · 378033 · 12/10/25 13:46 · MS 2011

감사합니다^^

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이과지방치 · 410085 · 12/10/25 13:49

저두 실제 시험장에선 법선벡터 두개로 비교해서

두 평면이 이루는 각 구하는 공식에 두 법선벡터 대입하고

잘 비비니까 보기에서 답이 될수 있는게 2(루트6)+1 밖에 없어서

겨우 풀었었네요 ㅋㅋ

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아산병원 · 363869 · 12/10/25 13:49 · MS 2011

그냥 삼각형이있는 평면 법선벡터를 (1,a,b)로 놓고푸시면 어처피 벡터비로푸는거니까 그냥 계산으로 나옵니다

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syzy · 418714 · 12/10/25 13:56 · MS 2012

아 이 풀이도 말씀드리려 했는데 까먹었네요.. 이렇게 풀어도 간단하지요. (고맙습니다..ㅎ)
(1,a,b) 랑 (1,0,0) 이루는 각도 60도니까 a^2 +b^2 =3 나오고요, 이 때
(1,a,b) 랑 (1,-2,2)가 이루는 각도의 cos값인 (1-2a+2b)/6의 최댓값을 구하는 문제니까,

다시 쓰면, a^2 +b^2 =3 일 때, (b-a)의 최댓값 구하는 문제입니다. 반지름 루트3인 원에서 기울기 1인 접선 그어보면 최댓값이 루트6 인 거 바로 나오지요. b-a=루트6 대입하면 cos최댓값이 (1+2루트6)/6 이라서 문제의 답을 얻습니다.

참고. 삼각형의 법선벡터가 (0,a,b)인 경우도 따져줘야 엄밀하긴 한데 결국 이 경우는 필요없습니다.

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탱구리탱탱 · 401350 · 12/10/25 13:57 · MS 2012

코시슈바르츠 부등식 말고 삼각치환 해보세요 그게 아마 출제의도 같네요
아니면 벡터의 내적이나 원과 접선 둘다 이용가능

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Vutton · 323791 · 12/10/25 19:05

작년 셤장에서 그냥 무식하고도 단순하게 푼것같네요...ㅠㅠ
삼각형 ABC와 yz평면이 이루는 예각의 크기는 60도이고
(1,-2,2) (1,0,0)이 이루는 각의 크기를 b라 놓을 때 cosb는 3분의1이 되죠..
삼각형 ABC와 평면 x-2y-2z=1이 이루는 각의 크기는 b+60 혹은 b-60이 되는데
정사영의 넓이가 최대가 되려면 예각 크기가 최소가 되어야 하므로
b-60이 되고...
6cos(b-60)을 구하면 답이 나오죠

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