심심하신 분들 풀어보세요
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1,2,3번은 교과서와 수능 기출에 있는 거니 그냥 풀면 될 거 같고요
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;;경시때 풀었던 문제들이 왜여기있는거짘ㅋㅋ
경시라니..ㄷㄷ 몇번 문제인가요?
그냥 싸인관련 증명문제들 수능수준이 아닌데요 ;;
kmo때 풀었던건데 저기서 수능수준 3번까지밖에;; ㅋㅋ
7번은 사설에서 나온거 풀어본적있네요 근데 45689,10은 수능준비하는분들이 필요는없을듯 ㅋㅋ
아 제가 가르치는 학생이 수능 준비자가 아니라서요..ㅎㅎ
재밌는 문제들이 많네요ㅎㅎ 근데 수능 준비자가 아니라 경시 준비자라면.. kmo준비용으로는 왠지 쉽지 않나요? 잘 모르지만, 포공경시대회 같은 대학주최 경시대회 준비 도입용 문제로는 좀더 비슷할 수도 있겠다는 생각이 들어요.
1번은 곱->합차 공식 쓰면 (1/2) (1 - cos 60) = 1/4
2번은 쎄타2 = 60 - 세타1 대입해서 정리하고, 범위 안에서 최대 갖는지 확인하면, (루트3)/6
3번은 12sin t = 2(sin 4t + 2 sin 2t) (theta를 t라 씀) 풀면 cos^3 t= 3/4
4번은 sin cos 덧셈공식 두 번 적용..
5번은 taylor 급수 사용. sin 1 = 1 - 1/3! + 1/5! - ... 좌변 값이 유리수 n/m이라고 가정후(m=0아님) 양변에 m 곱해서 모순 유도. m곱한 후 우변의 충분히 뒷쪽 항들 다 합해봐야 1보다 작은 유리수 나온다 보여서 좌변은 정수, 우변은 정수 아님.
6번은 (a-b)/(a+b) = (sin A - sin B)/(sin A + sin B) = (cos (A+B)/2 sin (A-B)/2 ) / (sin (A+B)/2 cos (A-B)/2 ) = tan (A-B)/2 / tan (A+B)/2
7번은 삼각형ABC에서 tan A+ tan B + tan C = tan A tan B tan C 이용. 각각을 u,v,w치환하면, u+v+w = uvw 만족하는 정수해 찾는 문제. 셋 중 음수는 많아야 1개. WLOG u,v가 0이상이라 가정. (0<= u<= v도 가정) w= (u+v)/(wv-1) --> uw = (u^2 +1)/(uv-1) + 1
우변의 첫항 정수여야 하는데, 3<=u 이라면 우변의 첫항이 0과 1 사이여서 모순. 따라서, u=0,1,2 중 하나. 각각의 경우 다 해보면 u+v+w= 6.
8번은 내심I에서 변BC에 내린 수선의 발 D라 하면, 삼각형 IDB에서 cot (B/2) = BD / r = (s-b)/ r 임이 자명.
9번은 1,2,3번 모두 산술기하평균 부등식 적용 후 젠센부등식 쓰면 나옴. (sin은 주어진 구간서 위로 볼록). 2번을 이용해서 3번을 풀려면, w= (x+y+z)/3 대입하면 됌. 최댓값 (3루트3)/8.
10번은 거의 1번과 비슷.. 보이고자 하는 식의 양변에 2pi sin u/2 곱해보고, 우변에 sin 덧셈공식 쓰면 인접한 항들끼리 다 사라지면서 답 나오는 거 같군요. u=2pi m 형태일 때 sin u/2 값이 0이므로 따로 처리하고요^^
우와 잘푸시네요..
두 가지만 지적하자면, 5번은 Taylor 급수를 이용하려는 의도가 없었습니다. 문제를 다시 보시면 1 옆에 '도' 단위가 붙어있다는 것을 아실 수 있을 거에요. 정말 Taylor 급수를 이용했다면 학생에게 낼 수 없는 문제가 되어버려요... 9번에서는 제가 학생이 '젠센부등식'을 모른다고 가정했습니다..
제가 참고한 곳은 http://euclid.ucc.ie/pages/MATHENR/index_files/Trigidsineqs.pdf이니 한번 봐주시면 감사하겠습니다. 7~9쪽을 보시면 될 거에요.
링크 걸었는데 그냥 클릭하면 안 될 것 같은 불길한 예감...
아 한 군데만 참고한 건 아니지만 9번 문제를 참고한 사이트가 저기란 말이에요
아 그렇지 않아도 좀전에 다시보다가 호도법이 아닌 거 보고 글 수정 중이었는데, 갑자기 수정이 안 된다고 나오길래 보니 답글이 있군요. 친절한 답변 고맙습니다^^ 보여주신 pdf파일처럼 하면 더 좋은 풀이겠군요! 경시쪽을 가르치려 하심이라면 왠지 방향이 약간 애매한 것 같기도 한데..(잘은 모르겠지만요) 과외의 방향이 혹시 논술 같은 것인가요? 밝히기 곤란하시면 말씀 안 하셔도 됩니다~
아.. 사실 학생이 과고 준비생이라 선행 진도를 나가고 있어요.. 그리고 과외가 아니고 자원봉사를 해요~ 혹시 조언 해주시면 고맙게 듣겠습니다
아고 답글 달려다가 비추천해버렸네요;; 죄송합니다ㅋㅋ
요새 과고 입시를 잘 모르겠는데, 시도 중학생 경시가 폐지되어서 kmo중고등부 성적이 적당히 있거나, 각 대학 산하 영재원 출신 경력이 중요하게 작용하는 것으로 알고 있는데 맞나요? 아니라면 요새 과고 입시에 무엇이 중요한가요? -> 너무 무책임한 거 같아서 검색해보니 요새 자기주도전형100%로 뽑는다는 기사가 있네요..(다 아시겠지만 그냥 링크라도..ㅎㅎ)
http://news.hankooki.com/lpage/society/201208/h2012082021065921950.htm
http://news.chosun.com/site/data/html_dir/2012/09/05/2012090501397.html
경시성적을 기입하면 오히려 감점이라는 이야기도 보이고..ㅎㅎ 이거 참.. 100%면접이라면 말 잘 하는 것도 어느 정도 필요할 거 같아요. 물론 기본적으로 내공이 쌓여서 나오는 말이어야 면접관들이 좋아하겠지만요.. 근데 아무리 기사에 난 것처럼 한다고 해도, 면접관들이 수학, 과학에 뛰어난 학생을 뽑고 싶은 욕심이 있을테니 어떻게든 그걸 확인하려고 할거고, 결국 적절한 선행과 창의력, 응용력을 길러줄 수 있게 연습시키는 것이 좋을 것 같아요. 원래부터 경시대회를 준비했던 사람이 아니라면 (지금 학생 나이 따라 다르겠지만) 지금 갑자기 경시를 준비시키는 것은 무리일 수도 있겠지만, 고교 과정도 공부하고(위에 보니 좋은 문제들인 것 같아요), 약간의 경시 스타일 문제를 풀 수 있는 수학적 배경지식 쌓아주기 등이 필요할 것 같아요.
저도 잘 몰라서 조언이라기보다 오히려 질문을 했군요ㅎㅎ 그리고 자원봉사라니 훌륭하십니다!
감사합니다 근데 저도 과고 입시 정책에 대해서 요즘 잘 몰라요..ㅠㅠ 죄송합니다
제가 중학교 다닐 때에는 영재교육원에 다니면 소량의 가산점이 붙었었는데 지금은 어떻게 되는지 모르겠네요
학생한테 적절히 세부 분야를 하나 정하라고 해서, 그 부분을 심도있게 공부하게 하고, 보고서 같은 걸 작성하게 하면 도움이 되지 않을까요?
수열 푸는 방법들 모음 - n항간 점화식을 특성방정식으로 풀기. 생성함수 등을 이용해서 풀어보기.
다양한 조합 문제 - Ramsey theory의 알려진 예들과 정리들. Catalan number, look polynomial, 포함과 배제의 원리 이용한 다양한 문제들, derangement 등등..
조합수를 포함한 다양한 수열의 합들을 계산하는 방식에 대한 고찰 (점화식이나 생성함수를 이용하거나 하는 등등..)
일반적인 마방진 만들어보기
미적분쪽을 파서, 물리랑 연관해서 the method of variation (변분법 등) 이라든가(중력장 내에서 cycloid 곡선을 따라 내려갈 때 시간이 최소이다.. 주어진 구간에서 양끝점 주어졌을 때 어떤 곡선을 회전시켜야 겉넓이 최소겠느냐.. -> catenoid 등등..), Fermat의 최단시간 원리 등을 공부하게 하거나, maxwell equation쪽을 파서 공부하게 하기(bio savart 법칙으로 ampere법칙 유도해보고 반대 방향도 해보고 등등..)
Fourier series쪽 공부하게 해서 sum_{n=1}^{무한대} 1/n^2 = pi^2 /6. 일반적으로 sum_{n=1}^{무한대} 1/n^2k =
아니면 정수론쪽에서 fermat little theorem부터 해서 euler 정리 wilson 정리, 뿌리근 존재성 등등 공부하게 하고, local global principle(Hasse principle)에 대해서도 공부해보고 selmer example (3x^3 +4y^3 +5z^3 =0 처음으로 local global principle이 깨어지는 예)에 대해서도 조사하게 해보는 것도 좋을 거 같아요.
혹은 sum_
아 아니면, clay math institute에서 내건 밀레니엄 수학 문제 8개 중 아무거나 하나 잡고서(풀린 거든 안 풀린 거든) 그걸 이해하기 위해 필요한 것들을 쭉 찾아서 공부해가는 과정을 보여주는 식도 좋을 거 같은데.. 리만 가설 같은 것도 좋고요.
이름 자체가 자기주도학습전형이니까요, 이런 식으로 스스로 수학 과학에 대한 열의가 깊어서 깊이 있게 조사하고 연구해보았다.. 라고 하는 식으로 풀어나가면 좋을 거 같다는 느낌이 드는데 제 개인적인 생각에 지나칠 가능성도 많으니 참고만 해주세요..ㅎㅎ
우와 엄청 많네요.. 다 하긴 무리가 있겠지만 몇개는 시도해볼만 하겠네요... 좋은 소재 주셔서 감사합니다^^
ㅎㅎ 아무튼 고교 과정 떼는 건 필수인 것 같습니다. 그러면서 스스로 방향을 잡도록 주제만 잘 던져주셔도 좋을 것 같아요. 너무 이것저것 이야기해서 죄송합니다.. 늦었으니 얼른 주무시고요!
네 님도 오늘 잘 주무시고 내일 활동 잘 하시길~ 감사했어요
아 그리고 problem solving through problems 라고 과학고에서 경시 공부 교재로 사용한다던 책이 있어요. 아이디어가 많아서 참 좋은 책인 것 같아요.
다양한 부등식쪽 쭉 파게 해보는 것도 좋을 것 같고요. 산술기하조화평균부등식, 코시, 횔더, 멱평균, 젠센(, 재배열, 체비셰프) 등등 점점 일반화하는 방향으로 정리해보고, 어떤 부등식이든 시간이 있으면 풀 수 밖에 없는 메카니즘을 개발하는 프로젝트도 재밌을 것 같아요. (제 생각에는 각 점마다 국소적으로 power series 전개해서 계수 비교하는 식으로 궁극적으로 될 거 같은데.. 결국 각 점이라는 게, 일부 몇 개의 점만 해보면 될 것 같지만요)
조합쪽으로는 Schaum에서 나왔던 combinatorics라는 책도 좋고요.. 혹시 좋은 교재 필요하시면 말씀해주세요.
왓더... 이건 뭐져 ㅋㅋ
kmc 고2 문제는 풀어본 적 있는뎁.. 이건 그 수준보다 훠얼씬 어려운듯여 ㅠㅠ 낼 도서관 가져가서 풀어봐야징 ㅎㅎㅎ
자료 감사합니다 !!
wtf... 3번보고 6월모의고사인가 9월모의고사에 나왔던거랑 비슷해서 '오 친근하다' 싶었는데 그 아래로 보이는 무슨... 저건 제타? 뭐뭐뭐...뭐야
3번 문제는 모의평가에 실제로 나왔어요~