빡모 2권 (3회21번이었나기억안남)사차함수의합성함수| f(f(x))-x|의 미분가능성문제 푸는법?

몇권이고 가형인지 나형인지랑 문제 번호는 적어주셔야죠 ㅠㅠ...
1권 2권 가형 2회 찾아봤는데 못찼겠어요ㅠㅠ

3회21번이었던것같네요 2권은 확실하고 객관식인데 지금 책이 없어서 ㅠㅠ

f(x)의 그래프를 그려보면 x<0에서 감소하고, x>0에서 증가하는 함수가 나옵니다.
(문제 조건에서 정의역이 x가 0이상이니 x<0인 경우는 따질 필요가 없을 것입니다.)
(f '(x) = x(4x^2-9x+6) 이고, 4x^2-9x+6의 판별식이 0보다 작기 때문에 x=0에서만 f'(x)의 부호가 바뀝니다)

f(0)=0입니다. 따라서 f(x)는 0이상의 값을 가집니다.

f(x)는 y=x와 (0,0), (1,1) 에서만 만납니다. 식을 세워보면 쉽게 알 수 있습니다. (0,1)에서 f(x)의 그래프는 증가상태이고
y=x의 그래프 아래에 있습니다. f(f(x))는 따라서, 구간 (0,1)에서 y=x 밑에 있을 수 밖에 없습니다.

비슷한 방식으로 f(f(x))가 구간 (1,무한대)에서 항상 y=x 위에 있음을 알 수 있습니다.
즉, f(f(x))-x=0의 근은 x=0,1이 유일합니다.

따라서 f(f(x))-x그래프의 절대값을 취하면, 구간 (0,1)을 y축 위로 접어 올리는 것이 됩니다.
f(f(x))-x 는 다항함수의 합성함수이므로, 항상 미분 가능합니다.
따라서 x=1일때의 미분 가능성만을 따져보면 되겠습니다.

ㄴ선택지와 ㄱ선택지를 풀면서 확인하셨겠지만, f '(1)= g '(1)=1이고, 점 (1,g(1))은
g(x)의 변곡점입니다. (g(x)=f(f(x)) ) 따라서 |g(x)-x|는 1에서의 미분계수값이 0이고,
미분 가능합니다.

(g(x)-x는 x=1에서 변곡점을 가지면서, 미분계수값이 0이기 때문에 절대값을 취해도
미분이 가능합니다)


그러므로
ㄷ. 함수 |g(x)-x|는 모든 양수 x에 대하여 미분가능하다.
는 옳습니다.

정말정말정말정말감사합니다 이거 정말 명쾌하게 설명해주셔서 어떻게 감사를 드려야할지 모르겠습니다 ㅠㅠ

아, 그리고 문제는 가형 2권 1회 21번이더라구요....
머리가 아픈상태로 쓴 거라 두서가 없어도 이해부탁드려요 ㅠㅠ..