수학 칼럼(1)-중복조합에 관하여

수학 칼럼 (1) -중복조합

랑데뷰수학 황보백 선생이라 합니다.

오르비에 족적을 남기고 싶어 수학 칼럼을 써 나가기로 하였습니다.

학원에서 수업했던 강의노트 내용을 칼럼으로 옮기는 형식으로 진행해 나갈 생각입니다.

첫 주제를 중복조합의 음이 아닌 정수해의 개수로 잡았습니다.

최근 기출로 지난(2020년) 5월 21일 치른 4월 교육청 가형 29번이 있어 관련 내용 정리해 보았습니다.

문자 a,b,c,d,e는 0이상 5이하의 정수일 때

a+b+c+d+e=5

의 음이 아닌 정수해의 개수는?

네...

5H5입니다.

그럼 

a+b+c+d+e=4의 음이 아닌 정수해의 개수는 5H4

a+b+c+d+e=3의 음이 아닌 정수해의 개수는 5H3

a+b+c+d+e=2의 음이 아닌 정수해의 개수는 5H2

a+b+c+d+e=1의 음이 아닌 정수해의 개수는 5H1

a+b+c+d+e=0의 음이 아닌 정수해의 개수는 5H0

입니다. 

뭐,,,당연하죠..

한 가지 더  

a+b+c+d+e=-1의 음이 아닌 정수해의 개수는?

합이 -1이하의 개수는 0개입니다. (너무나 당연해서 문제에 출제되진 않겠죠...)

그럼 문자 a,b,c,d,e는 0이상 5이하의 정수일 때,

a+b+c+d+e=26의 음이 아닌 정수해의 개수는?

조금 생각한 분들도 있겠지만, a+b+c+d+e=-1과 같은 경우로 해가 존재하지 않습니다.

그래서 저런 문제를 출제하지도 않지만 출제하더라도 욕먹을 각오는 되어 있어야 할 겁니다.

그럼

a+b+c+d+e=25

a+b+c+d+e=24

a+b+c+d+e=23

a+b+c+d+e=22

a+b+c+d+e=21

a+b+c+d+e=20

의 음이 아닌 정수해의 개수는?

특히, 문자 a,b,c,d,e가 0이상 5이하의 정수일 때,

a+b+c+d+e=20

의 음이 아닌 정수해는 내신 시험이든 모의고사든 많이 출제되어 쉽게 답 할 수 있습니다.

정답은 5H5입니다.

풀이는 

a=5-a', b=5-b', ... ,e=5-e' 로 바꿔서 대입하면

a'+b'+c'+d'+e'=5

이고 문자 a',b',c',d',e'의 범위도 0이상 5이하이므로

처음 문제인 a+b+c+d+e=5

의 음이 아닌 정수해의 개수를 묻는 문제와 같은 문제가 됩니다.

같은 방법으로

다음이 성립합니다.

이제 부등식에 대해 생각해 보겠습니다.

a+b<=n의 음이 아닌 정수해의 개수는 문자 c를 추가하여 만든 a+b+c=n의 음이 아닌 정수해의 개수와 같습니다. 즉, 3Hn

편의상 a+b+c<=n 인 경우를 3개가 n이라 읽고 계산은 4Hn으로 한다. 라고 표현하겠습니다.

4개가 5이하면 5H5

5개가 5이하면 6H5

....

자 본격적으로 다음 문제에 대해 생각해 봅시다.

문자 a,b,c,d,e는 0이상 5이하의 정수일 때

a+b+c+d+e=n

의 음이 아닌 정수해의 개수는?

(단, n의 값이 6이상 19이하 자연수)

(1) a+b+c+d+e=8

문자 모두가 0이상 8이하일 때의 전체 정수해의 개수에서 

다섯 개 중 한 문자가 6이상일 때, 네 문자 합이 2이하인 경우를 제외하면 됩니다.

식으로는

5H8 - 5C1 x 5H2 = 495-75=420

입니다.

그런데

(2) a+b+c+d+e=17

문자 모두가 0이상 17이하일 때의 전체 정수해의 개수에서 

다섯 개 중 한 문자가 6이상일 때, 네 문자 합이 11이하인 경우를 제외하고

두 문자가 6이상일 때, 네 문자 합이 5이하인 경우를 중복 제외하였으므로 다시 더해 주면 됩니다. 식으로는

5H17 - 5C1 x 5H11 +5C2 x 5H5=5985-6825+1260=420

(계산기 사용함)

입니다.

(1)번과 (2)번의 결과가 같음을 알 수 있습니다.

문자 a,b,c,d,e는 0이상 5이하의 정수일 때 

a+b+c+d+e 가 될 수 있는 최댓값은 25입니다

(1)번과 (2)번의 결과가 8+17=25입니다.

그래서 a+b+c+d+e=n 의 정수해에서 n이 25/2 보다 큰 값이면 25-n으로 고쳐 계산합시다.

다시 말해

a+b+c+d+e=19인 경우는 식으로 표현하기도 어렵습니다.

이런 경우는 a+b+c+d+e=25-19=6의 경우와 같으므로

5H6-6C1로 간단히 답이 나온다는 얘기입니다.

자!

그럼 4월 경기도 교육청 가형 29번 문제를 보겠습니다.

  선생님 풀이는 다음과 같습니다.

  다음은 변형 두 문제 올립니다.

첫번째 문제는 숫자가 크게 나오는 경우입니다.(계산 짜증날 겁니다. 죄송)

두번째 문제는 비대칭 구조인 경우입니다.

긴 글 읽어 주셔서 감사합니다. 변형 1번은 자료공개 했던 문제이고... 변형2는 오르비에 처음 올립니다. 

다음은 함수 f의 x=a에서의 미분 가능 조건의 필요충분조건에 관해 얘기를 해 보겠습니다.

수식을 어떻게 넣을지 고민이네요.

중복조합 부터 쓴 이유도 수식을 안 넣어도 알아볼 수 있어서...

고민해 보고 글 올리도록 하겠습니다.