수학 칼럼(1)-중복조합에 관하여
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수학 칼럼 (1) -중복조합
랑데뷰수학 황보백 선생이라 합니다.
오르비에 족적을 남기고 싶어 수학 칼럼을 써 나가기로 하였습니다.
학원에서 수업했던 강의노트 내용을 칼럼으로 옮기는 형식으로 진행해 나갈 생각입니다.
첫 주제를 중복조합의 음이 아닌 정수해의 개수로 잡았습니다.
최근 기출로 지난(2020년) 5월 21일 치른 4월 교육청 가형 29번이 있어 관련 내용 정리해 보았습니다.
문자 a,b,c,d,e는 0이상 5이하의 정수일 때
a+b+c+d+e=5
의 음이 아닌 정수해의 개수는?
네...
5H5입니다.
그럼
a+b+c+d+e=4의 음이 아닌 정수해의 개수는 5H4
a+b+c+d+e=3의 음이 아닌 정수해의 개수는 5H3
a+b+c+d+e=2의 음이 아닌 정수해의 개수는 5H2
a+b+c+d+e=1의 음이 아닌 정수해의 개수는 5H1
a+b+c+d+e=0의 음이 아닌 정수해의 개수는 5H0
입니다.
뭐,,,당연하죠..
한 가지 더
a+b+c+d+e=-1의 음이 아닌 정수해의 개수는?
합이 -1이하의 개수는 0개입니다. (너무나 당연해서 문제에 출제되진 않겠죠...)
그럼 문자 a,b,c,d,e는 0이상 5이하의 정수일 때,
a+b+c+d+e=26의 음이 아닌 정수해의 개수는?
조금 생각한 분들도 있겠지만, a+b+c+d+e=-1과 같은 경우로 해가 존재하지 않습니다.
그래서 저런 문제를 출제하지도 않지만 출제하더라도 욕먹을 각오는 되어 있어야 할 겁니다.
그럼
a+b+c+d+e=25
a+b+c+d+e=24
a+b+c+d+e=23
a+b+c+d+e=22
a+b+c+d+e=21
a+b+c+d+e=20
의 음이 아닌 정수해의 개수는?
특히, 문자 a,b,c,d,e가 0이상 5이하의 정수일 때,
a+b+c+d+e=20
의 음이 아닌 정수해는 내신 시험이든 모의고사든 많이 출제되어 쉽게 답 할 수 있습니다.
정답은 5H5입니다.
풀이는
a=5-a', b=5-b', ... ,e=5-e' 로 바꿔서 대입하면
a'+b'+c'+d'+e'=5
이고 문자 a',b',c',d',e'의 범위도 0이상 5이하이므로
처음 문제인 a+b+c+d+e=5
의 음이 아닌 정수해의 개수를 묻는 문제와 같은 문제가 됩니다.
같은 방법으로
다음이 성립합니다.
이제 부등식에 대해 생각해 보겠습니다.
a+b<=n의 음이 아닌 정수해의 개수는 문자 c를 추가하여 만든 a+b+c=n의 음이 아닌 정수해의 개수와 같습니다. 즉, 3Hn
편의상 a+b+c<=n 인 경우를 3개가 n이라 읽고 계산은 4Hn으로 한다. 라고 표현하겠습니다.
4개가 5이하면 5H5
5개가 5이하면 6H5
....
자 본격적으로 다음 문제에 대해 생각해 봅시다.
문자 a,b,c,d,e는 0이상 5이하의 정수일 때
a+b+c+d+e=n
의 음이 아닌 정수해의 개수는?
(단, n의 값이 6이상 19이하 자연수)
(1) a+b+c+d+e=8
문자 모두가 0이상 8이하일 때의 전체 정수해의 개수에서
다섯 개 중 한 문자가 6이상일 때, 네 문자 합이 2이하인 경우를 제외하면 됩니다.
식으로는
5H8 - 5C1 x 5H2 = 495-75=420
입니다.
그런데
(2) a+b+c+d+e=17
문자 모두가 0이상 17이하일 때의 전체 정수해의 개수에서
다섯 개 중 한 문자가 6이상일 때, 네 문자 합이 11이하인 경우를 제외하고
두 문자가 6이상일 때, 네 문자 합이 5이하인 경우를 중복 제외하였으므로 다시 더해 주면 됩니다. 식으로는
5H17 - 5C1 x 5H11 +5C2 x 5H5=5985-6825+1260=420
(계산기 사용함)
입니다.
(1)번과 (2)번의 결과가 같음을 알 수 있습니다.
문자 a,b,c,d,e는 0이상 5이하의 정수일 때
a+b+c+d+e 가 될 수 있는 최댓값은 25입니다
(1)번과 (2)번의 결과가 8+17=25입니다.
그래서 a+b+c+d+e=n 의 정수해에서 n이 25/2 보다 큰 값이면 25-n으로 고쳐 계산합시다.
다시 말해
a+b+c+d+e=19인 경우는 식으로 표현하기도 어렵습니다.
이런 경우는 a+b+c+d+e=25-19=6의 경우와 같으므로
5H6-6C1로 간단히 답이 나온다는 얘기입니다.
자!
그럼 4월 경기도 교육청 가형 29번 문제를 보겠습니다.
선생님 풀이는 다음과 같습니다.
다음은 변형 두 문제 올립니다.
첫번째 문제는 숫자가 크게 나오는 경우입니다.(계산 짜증날 겁니다. 죄송)
두번째 문제는 비대칭 구조인 경우입니다.
긴 글 읽어 주셔서 감사합니다. 변형 1번은 자료공개 했던 문제이고... 변형2는 오르비에 처음 올립니다.
다음은 함수 f의 x=a에서의 미분 가능 조건의 필요충분조건에 관해 얘기를 해 보겠습니다.
수식을 어떻게 넣을지 고민이네요.
중복조합 부터 쓴 이유도 수식을 안 넣어도 알아볼 수 있어서...
고민해 보고 글 올리도록 하겠습니다.
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감사합니다.
네 도움 되길 바랄께요.
do enjoy your party
감사합니다.
잘 보았습니다.
네~다음 칼럼도 읽어봐 주셔요.
위 두 문제 가장 먼저 답 댓글 다시는분께 카톡으로 선물 보내드리겠습니다.
변형 1번 답 (10+672+1470)/8=269
변형 2번 답 1+161+171+444=777
입니다. 좋은자료 이제야봤네요 답이라면 카톡 선물 책 받고싶습니다.