이 확률 문제의 풀이를 공모합니다.
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여러분이 공정한 동전을 하나 갖고 있습니다.
동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라고 합니다.
동전을 반복해서 던지면서 나온 면을 차례대로 기록해나갑니다.
(1) 기록의 마지막 네 글자가 THTH 가 되는 순간 던지기를 중단한다고 할 때, 평균적으로 몇 번째에 던지기가 중단되겠는가?
(2) 기록의 마지막 네 글자가 HTHH 가 되는 순간 던지기를 중단한다고 할 때, 평균적으로 몇 번째에 던지기가 중단되겠는가?
(3) 무한히 기록을 해 나갈 때, THTH 가 HTHH 보다 먼저 나올 확률은 얼마인가?
위의 세 문제의 답을 구하고 보면, 일종의 역설을 얻게 됩니다. 저명한 퍼즐리스트 마틴 가드너가 낸 문제라고 하네요.
제가 궁금한 것은, 이 문제를 고등학교 수준에서 풀 수 있는가 하는 점입니다. 만약 힘들다면, 최소한 다음 변형된 문제
(3') 무한히 기록을 해 나갈 때, THTH 가 HTHH 보다 먼저 나올 확률과 나중에 나올 확률 중 어떤 것이 더 큰가? 혹은 두 확률이 같은가?
에 답을 할 수 있을까요?
(물론 저는 답도 풀이도 알고 있습니다만, 고등학교 수준을 벗어난 풀이라서... 한마디로 '초등적인 풀이'가 가능하겠냐는 것입니다.)
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THTH 가 발생하는 회차의 기댓값은 20 일 듯 하고,
HTHH 가 발생하는 회차의 기댓값은 18일 듯 한데... 계산은 직관적이라 쓰기가 좀 어렵네요.
위의 결과를 보면 HTHH 가 먼저 나올 확률이 클 듯 한데, 결과를 구해보면 오히려
THTH 가 먼저 나올 확률이 9/14 이고, HTHH 가 먼저 나올 확률이 5/14 가 되서...
THTH 가 먼저 나올 확률이 더 크군요.
풀이방법은 유향그래프와 무한등비급수를 이용했습니다.
직관적이라도 좋습니다. 모두 정답이니까요. 어떻게 계산하셨는지 설명을 부탁드려도 될까요?
적기가 어려워서 맨 위에 하나(THTH)만 간단히 적어보겠습니다.
처음 상태를
라고 합니다.
상태에서는 H 또는 T 가 나올 수 있는데, H 가 나오면 아무런 도움이 안되므로 그냥 처음 상태와 같습니다.즉,
상태에서는 각각 1/2 의 확률로상태로 남거나 상태로 이동합니다.
상태로 이동합니다.
상태에서는 1/2의 확률로 상태에서는 같은 방법으로 하면 1/2 의 확률로 상태로 남거나
상태로 되거나 상태로 됩니다.
상태에서는 1/2의 확률로 상태로 되거나 상태로 됩니다.
이제까지 결과를 이용하여 각 상태를 꼭짓점으로 유향그래프를 그릴 수 있고,
상태에서 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 2 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 2
상태에서 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 6
상태에서
상태에서 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 10
이 되어, 기댓값 20을 구한 것입니다. 각각의 기댓값은 무한등비급수 형태로 계산했고요.
오오, 상당히 재미있는 풀이네요.
우선 확률공간 {S, T, TH, THT, THTH} 와 {S, H, HT, HTH, HTHT} 각각에 대한 전이행렬 A를 구하고,
A + 2A^2 + 3A^3 + 4A^4 + ... = A(I - A)^-2
를 구해서 초기상태를 먹이니까 정말로 최초 출현 시점의 기대값이 나오네요. 그리고 확률공간 {S, T, H, TH, HT, THT, HTH, THTH, HTHH} 에 대한 전이행렬 A를 구해서
A + A^2 + A^3 + A^4 + ... = A(I - A)^-1
을 구하고 초기 상태를 먹이니까, THTH 로 끝날 확률과 HTHH 로 끝날 확률이 나오는군요.
원래 제가 아는 풀이법은 stopped martingale을 이용하는 방법이라, 확률미적분(stochastic calculus)에 대한 기본 지식이 없으면 쓰질 못했거든요...
좋은 풀이 배워갑니다.