[일반청의미] 접점의 개수와 접선의 개수는 다를 수 있다.

안녕하세요. 시험기간이라 바쁜 일반청의미 이원엽입니다.

근황을 먼저 얘기하자면, 여러가지 고민을 계속 하고있는 중입니다.

치대생으로써, 혹은 여러 동아리의 한 일원으로써, 그리고 강사나 책 저자로써의 인생이었습니다.

이제는 무언가 제 위치를 정해야할 듯 하여, 계속된 고민을 하고있는 중입니다.

그 과정에서 여러분께서 해주신 조언은 계속 새기고 있습니다. 정말 감사드립니다.

오늘은 교과서의 풀이가 효율적이지 않을 수 있다는 내용의 칼럼을 담아야할 것 같습니다.

이 내용은 제가 이전에 주장했던 내용과는 상이한 내용이기에 여러분이 의아해하실 수 있겠습니다.

하지만, 이런경우가 있음에도 개인적 주장과 상이하다해서 여러분께 알리지 않는 것은 할 수 없습니다.

그래서, 여러분께 게시글로 이 사실을 알려드리려고 글을 씁니다.

이것으로 교과서에 대한 제 입장을 정리합니다.

여러 논란의 중심이 된 점을 이해하고 있으며 불편함을 드렸다면 미안합니다.

(물론 여러 칼럼니스트분께서 이와 관련한 글을 써주셨습니다. 이 게시글은 제의견을 담은것임을 말씀드립니다.)

일단, 이 영상 중간을 보시면, 반드시 극값이 3개 나와야하므로,

변곡점이 한개면 공통접선이 존재하지 않는다는 설명이 있습니다.

공통접선이 존재하려면, 공통접선의 기울기와 같은 미분계수를 가지는 점이 존재해야합니다.

이것은 평균값의 정리를 통해 이해하실 수 있습니다.

그렇다면, 공통접선의 기울기와 같은 미분계수를 가지는 점이 3개 이상 존재해야합니다.

이것을 저는 공통접선의 함수식을 원래 함수에서 뺀다라고 생각해서 말했습니다.

평균값의 정리를 증명할때, 원래 함수에서 직선의 식을 빼고 롤의정리를 이용해 증명합니다.

그때문에 의미의 전달에 착오가 있었습니다.

실제로는 미분계수를 가지는 점이 3개 이상 존재해야하므로라고 생각해주세요.

설명의 이해에 도움이 될까하여 가져왔습니다. 2008학년도 수능 기출문제입니다. 평균값의 정리에 의해 풀 수 있습니다.

요약해서 설명하겠습니다.

1. 지난 게시글에서 제 교과서 예제풀이에는 약점이 존재합니다.

바로, 하나의 함수에 공통접선이 있을 경우, 접점의 개수와 접선의 개수가 같지 않다는 것입니다.

즉, 분명 접점의 개수가 두개지만, 접선의 개수는 1개일 수 있는 것입니다. 공통접선일 수 있거든요.

하지만, 공통접선에 대해서는 서로 다른 두 곡선이 동시에 접하는 경우밖에는 일반적으로 접하기 어렵습니다.

한 곡선위의 두 점의 접선이 일치하는 경우를 수식으로 밝히는 것은 교과서에는 서술되어있지 않습니다.

2. 실제로 수식으로 증명하기도 어렵습니다.

그 자체의 의미로 해석해봅시다.

서로다른 x값에서 기울기가 같고, y절편도 동시에 같으면 공통접선이 존재합니다.

즉 f'(x)가 서로다른 x에 대해서 같은 값이 되는 두개 이상의 x가 존재해야합니다.

동시에 그 두개 이상의 x에 대해서, y절편의 식, 즉, f(x)-xf'(x)도 동시에 같아야합니다.

수식으로 써보면, 그 두개의 x를 a,b라 할 때,

f'(a)=f'(b)이고 동시에 f(a)-af'(a)=f(b)-bf'(b)여야 합니다.

이것을 보이기 위해서 두 식을 더하고 빼보는 방법을 생각했습니다만, 옳은 논리가 아니었습니다.

두 식을 더할 때, 즉 f'(x)와 f(x)-xf'(x)를 더하여 일대일 대응 함수가 된다면, 공통접선이 존재하지 않습니다만,

두식을 더하여 일대일 대응 함수가 되지않아도 공통접선이 존재한다는 증거는 되지 않았습니다.

만약, 공통접선이 존재한다면, 기울기가 서로 같고, y절편이 서로 같은 두 점이 존재하기에

기울기와 y절편을 더한 식에서 반드시 서로다른 두점의 x값을 대입해서 식의 값이 같은경우가 존재해야합니다.

빼도 마찬가지입니다. 하지만, 그 반대는 성립하지 않습니다.

우연하게 어떤 a와 b에서 기울기와 y절편의 차이가 k로 똑같을 수 있기 때문입니다.

하지만, 기울기와 y절편 자체는 다른 값일 수 있습니다. 즉, 덧뺄셈으로 공통접선을 발견하기 어렵습니다.

저는 덧뺄셈으로 발견하기 어렵다면, 더이상의 테크닉으로는 너무 복잡해진다고 판단해서

제 입장에서는 수식증명이 어렵다고 결론지었습니다.

(여기서 또다른 방법이 있다면, 공유해주세요. 센세이션이 일어날 지 모릅니다!)

3. 공통접선이라는 예외를 발견하기 위해선, 다음과 같은 작업이 필요합니다.

1) 원래 함수의 그래프를 그립니다. 여기서 변곡점을 표시해야합니다.

2) 공통접선의 접점 두개 사이의 x에 대해서 공통접선의 기울기를 미분계수로 가지는 c가 반드시 존재합니다.

(이 논리는 평균값의 정리로 생각할 수 있습니다.)

3) 하지만, 우리는 이계도함수를 배울 때, 도함수의 도함수라고 배웠습니다.

도함수의 도함수값이 계속 양이거나 음이면, 절대 공통접선의 기울기가 그 사이에 나오지 않습니다.

그러므로 반드시 변곡점이 존재해야하며, 두개 이상 존재해야함도 논리적으로 설명 가능합니다.

4)만약 변곡점이 두개인 함수에서, 공통접선이 존재한다면, 공통접선의 기울기와 같은 미분계수를 가지는 x는

(즉 평균값의 정리를 만족하는 그 x값은!)

반드시 변곡점 두개의 x값 사이에 존재할 수 밖에 없습니다.

다시말해서, 변곡접선의 기울기는 변곡점 두개 사이의 x값의 미분계수로 한정됩니다.

5) 그래프에서 그러한 공통접선이 있는지 확인합니다.

4. 이 풀이를 진행하고 공통접선이 없음을 보이면 그래프를 두개 그려야합니다.

원래 함수의 그래프를 그려서 공통접선이 없음을 보인 후에, k에 관한 식을 통해서 교점의 개수를 구해야합니다.

물론, 이 논리를 전부 전개하면 교과서의 방식에 최대한 맞춰서 문제를 풀 수 있습니다.

(5)의 풀이에서 그래프의 접선의 기울기가 달라지는 것을 직관적으로 이해하는 것 외에는 말이죠.)

하지만 효율성의 측면에서 이것을 검증하는 것이 좋다고 보기에는 이견이 있을 수 있습니다.

실제로 그래프를 두개 그려야하는 것은 부담일 수 있습니다. (물론 그래프 그리기 연습 많이했다면 모르겠습니다.)

즉, 명백한 약점입니다.

그러므로 정리하면, 직관풀이의 효용성은 분명 있습니다.

직관풀이는 다음과 같은 점에서 좋습니다.

문제를 푸는 학생의 경우, 실제로 가능성 높은 경우가 보일 때, 풀이의 실마리를 쉽게 파악할 수 있습니다.

이 경우에는 경험이 많은 학생이기에, 막혀도 충분히 다른 경우를 생각할 가능성이 높게 됩니다.

다만, 치명적인 약점은 직관이 도저히 떠오르지 않을 때는 기본적인 풀이를 전개해야한다는 점입니다.

즉, 개념에 대한 이해가 정말 잘되어있다는 전제하에, 직관풀이의 효용성이 있습니다.

이 직관력을 늘리기 위해서는 결국 어려운 문제를 계속 많이 접해야하는 것 같습니다.

그 후, 그 어려운 문제를 자신이 이해하고, 나중의 유제를 어떤 시선으로 봐야하는지에 대한 학습을 해야합니다.

하지만, 그것 또한 기본적인 베이스는 여러분이 이해할 수 있는 기본개념입니다.

왜 이렇게 해도 되냐고 물어볼 때, 기본개념이 없다면, 그 이유를 모르는 것이 되어버리니까요.

그러므로, 여러분께서는 지금 이 마무리 시기에 왜 이런 직관을 써도 괜찮은지를 계속 자문하세요.

왜 이런 생각을 해도 될까라는 질문에 대한 답을 계속 생각하고 정리하셔야할 때인 것 같습니다.

(물론, 수능장에서는 별짓을 하셔도 맞추셔야합니다.)

이것으로 정리를 마칩니다. 많은 사람들이 볼 수 있었으면 좋겠습니다.

제 생각에 대한 정리는 글을 따로 올리겠습니다.